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La Teoria dei Modelli studia le strutture matematiche attraverso le formule del prim'ordine, in un opportuno linguaggio L, che queste verificano. È naturale quindi definire una relazione di equivalenza su L-strutture che le identifichi se realizzano gli stessi enunciati: questa relazione prende il nome di equivalenza elementare. È immediato domandarsi quando due strutture sono elementarmente equivalenti ed altrettanto immediato è mostrare che questo succede se e solo se possono essere elementarmente immerse in una sovrastruttura comune. Tuttavia, la nozione di immersione elementare ha ancora bisogno del concetto di formula per essere enunciata, e potremmo chiederci se è possibile caratterizzare una nozione sintattica come questa in maniera puramente algebrica, cioè in termini di esistenza di mappe che conservino la struttura. Il Teorema di Keisler-Shelah, risultato che dà il titolo a questa tesi, risponde affermativamente a questa domanda.

Per enunciare il Teorema è necessaria una costruzione che prende il nome di ultrapotenza: questa è un caso particolare di ultraprodotto, un quoziente del prodotto diretto che utilizza gli ultrafiltri e gode di importanti proprietà model-teoretiche. Ad esempio un ultraprodotto di campi, a differenza del prodotto diretto, continua ad essere un campo: questo è dovuto al fatto gli ultraprodotti preservano le formule del prim'ordine, e quella di essere un campo è una proprietà che può appunto essere espressa con una formula del prim'ordine.
Comunque, anche se gli ultraprodotti godono di questa importante proprietà, la definizione di ultraprodotto non necessita del concetto di formula.
Il Teorema di Keisler-Shelah, asserendo che affinché due strutture siano elementarmente equivalenti è necessario e sufficiente che abbiano ultrapotenze isomorfe, fornisce quindi la caratterizzazione algebrica che cercavamo e permette di tradurre la nozione di equivalenza elementare, per sua natura sintattica, in termini di esistenza di isomorfismi fra opportuni quozienti di prodotti diretti.


La tesi è strutturata come segue. Nel primo capitolo richiameremo, brevemente e senza pretese di esaustività, definizioni e risultati basiliari su cui si poggerà il lavoro seguente, come la nozione di ultraprodotto, il Teorema di Los, le definizioni di tipo e modello saturo e il Teorema di unicità per la suddetta classe di modelli. Nel secondo capitolo introdurremo una speciale classe di ultrafiltri, ne mostreremo l'esistenza e studieremo le proprietà di saturazione dei modelli costruiti facendone uso. Da questo studio seguirà -assumendo l'Ipotesi Generalizzata del Continuo (GCH) che, ricordiamo, afferma che non esistono cardinalità intermedie fra quella di un insieme infinito e quella del suo insieme delle parti- il risultato principale.
Il terzo capitolo è dedicato alla rimozione della GCH dalla dimostrazione del Teorema di Keisler-Shelah, rimozione che richiede una costruzione piuttosto delicata in cui l'ultrafiltro appropriato e l'isomorfismo fra le relative ultrapotenze vengono costruiti parallelamente. Una volta disponibile -senza bisogno di assunzioni circa l'esponenziazione cardinale- la caratterizzazione di cui sopra, la useremo per fornire una dimostrazione algebrica del risultato classico noto come Teorema di Interpolazione di Craig sensibilmente più breve di quella tradizionale realizzata con metodi sintattici. Nel quarto e ultimo capitolo presenteremo una generalizzazione dell'ultrapotenza che prende il nome di ultrapotenza limite, e vedremo com'è possibile utilizzare questa nuova costruzione per caratterizzare in termini algebrici la nozione di estensione elementare completa e per fornire alcuni risultati sui modelli della Teoria degli Insiemi.