• biomatematica
• open access
• selezione naturale
• strategie evolutivamente stabili
• teoria dei giochi
• teoria dell'evoluzione

Nella sua tesi di dottorato, mai pubblicata, il popolare matematico John Nash suggeriva un'interpretazione del suo concetto di equilibrio nell'ambito di giochi tra individui scelti a caso da vaste popolazioni, individui che non devono necessariamente avere una conoscenza dell'intera struttura del gioco, o l'abilita' di effettuare complicati processi razionali. E' di questo tipo di giochi che si occupa la teoria evolutiva dei giochi, che puo' essere considerata come un'estensione della teoria dei giochi classica.
L'interesse per questo argomento nacque nel 1973, quando John Maynard Smith e George R.Price formalizzarono alcune problematiche che sorgono nel contesto della biologia. Sono proprio le scienze biologiche, insieme a quelle economiche e sociali, le discipline in cui la teoria evolutiva dei giochi trova un numero sempre maggiore di applicazioni.
Le principali differenze rispetto alla teoria dei giochi classica risiedono nel fatto che in un gioco evolutivo i giocatori, ovvero individui scelti a caso da una vasta popolazione, non hanno la capacita' di analizzare razionalmente il gioco; e' l'interazione tra i vari giocatori a determinare la scelta delle strategie, e quelle che producono un maggiore guadagno risulteranno essere usate piu' di frequente. I giocatori potrebbero addirittura non avere consapevolezza del guadagno che una determinata strategia produce; esiste tuttavia una 'legge' che li indirizza verso strategie sempre piu' proficue: questo avviene, per esempio, nella modifica della frequenza delle caratteristiche genetiche delle specie viventi operata dalla selezione naturale, descrivibile attraverso un modello semplificato di cui ci occuperemo nell'ultimo capitolo.
Nel primo capitolo vengono presentati sia i concetti basilari della teoria dei giochi classica, sia gli strumenti necessari per la trattazione successiva: le definizioni di gioco, payoff, strategie miste, equilibri di Nash, insieme a qualche esempio di gioco e ai fatti fondamentali, come il teorema di esistenza di un equilibrio misto di Nash per un gioco discreto a due giocatori.
Il secondo capitolo introduce la teoria evolutiva, nella quale si ha una popolazione di giocatori sottoposti, in maniera casuale, a un gioco a due giocatori discreto e simmetrico: tra le possibili strategie alcune possono rivelarsi evolutivamente stabili, vale a dire che quando vengono adottate dall'intera popolazione resistono, in un ben precisato senso, a mutazioni (di strategie) di una piccola percentuale dei giocatori. Per questo tipo di giochi e' stata ipotizzata una dinamica, detta della replicazione, secondo cui il tasso di incremento, al variare del tempo, della frequenza della strategia i-esima tra la popolazione e' dato dalla differenza tra il payoff, che tale strategia ottiene contro un giocatore a caso, e il payoff medio. Nel corso del capitolo vengono analizzati alcuni teoremi che legano stabilita' statica, evolutiva e dinamica: per esempio, usando gli strumenti classici dei sistemi dinamici, si dimostra che una strategia evolutivamente stabile si rivela un punto di equilibrio asintoticamente stabile nella dinamica associata al gioco. La trattazione e' corredata da numerosi esempi, alcuni dei quali comprendono casi patologici.
E' possibile riformulare alcuni dei concetti descritti per applicarli a giochi lievemente diversi, come quelli in cui i guadagni non sono necessariamente lineari, o nei quali si scontrano due popolazioni distinte, con distinte matrici dei payoff. Proprio a questo tipo particolare di giochi ci si puo' riferire per affrontare una questione di attualita' negli studi sociali: il problema delle pubblicazioni scientifiche open access. Nel terzo capitolo mostriamo che la situazione puo' essere modellata come un gioco tra una popolazione di scienziati e una di editori che hanno a disposizione la scelta tra open access e non open access; le caratteristiche dei payoff spingono a studiare il gioco da un punto di vista dinamico. Ne risulta una periodica redistribuzione delle frequenze delle strategie tra le due popolazioni. Questo modello, recentemente proposto da Katharina e Lutx Habermann, presenta alcuni aspetti che possono essere resi piu' realistici: si e' scelto di migliorarlo, prima modificando alcune ipotesi e poi introducendo dei payoff non lineari; l'evoluzione nei due casi presenta alcune differenze.
Come gia' anticipato, viene studiata infine un'altra possibile applicazione della teoria evolutiva dei giochi: la formalizzazione del processo di selezione naturale, nel quale si riduce la frequenza delle caratteristiche genetiche che peggio si adattano all'ambiente in cui sono inserite. In alcuni casi, conoscendo tutte le combinazioni di geni possibili in una popolazione, e il relativo tasso di sopravvivenza, si puo' calcolare come varia la frequenza dei cosiddetti genotipi all'interno della popolazione, al continuo susseguirsi delle generazioni. Ne viene fuori un'equazione della replicazione, associata a un curioso gioco in cui i giocatori risultano essere i geni, mentre gli esseri viventi costituiscono solo il tavolo da gioco. Per questo gioco vengono ricavati alcuni risultati particolari, che si aggiungono a quelli esaminati nel secondo capitolo: per esempio una caratteristica dell'equazione della selezione naturale e' la corrispondenza biunivoca tra punti di equilibrio asintoticamente stabili e strategie evolutivamente stabili.