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• gruppi di Artin
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Un gruppo di Coxeter $W$ è un gruppo che è generato da elementi $s_1,\dots,s_n$ di ordine 2 le cui relazioni sono della forma $(s_is_j)^{m(i,j)}=1$. Ad ogni gruppo di Coxeter $W$ è associato un gruppo di Artin $G_W$, che ha presentazione analoga eccetto che i generatori hanno ordine infinito. Ad esempio, se $W$ è il gruppo simmetrico, allora $G_W$ è il classico gruppo delle trecce.

Una struttura di Garside è essenzialmente un labeled poset $\mathscr P$ che sia un reticolo e soddisfi certe proprietà. Partendo da $\mathscr P$ si costruiscono un monoide $M(\mathscr P)$, un gruppo $G(\mathscr P)$, ed un CW-complesso $K(\mathscr P)$, che risulta essere uno spazio $K(G(\mathscr P),1)$. In particolare, partendo da un gruppo di Coxeter $W$ finito, si può costruire una struttura di Garside $\mathscr P$, detta struttura di Garside standard di $W$, con $G(\mathscr P)=G_W$, che può essere usata per dimostrare la congettura $K(\pi,1)$.

Se $W$ è infinito, non c'è la struttura di Garside standard, ma si può costruire un altro poset, detto \emph{struttura duale}. Studiando questa struttura, la congettura $K(\pi,1)$ è stata recentemente dimostrata ([Paolini-Salvetti, {\it Proof of the $K(\pi,1)$-conjecture for affine Artin groups}, Inv. Math., '21]) nel caso in cui $W$ è un gruppo affine.

L'obbiettivo principale di questa tesi è tentare di studiare la struttura duale nel caso generale, ed in particolare il rapporto tra $G(\mathscr P)$ e $G_W$, che congetturalmente sono isomorfi. In particolare, introdurremo alcune costruzioni usate nel caso in cui $G_W$ è un gruppo libero, e le generalizzeremo per poter costruire nel caso generale un morfismo suriettivo da $G_W$ a $G(\mathscr P)$. Otterremo poi delle condizioni necessarie e sufficienti affinché questa mappa sia un isomorfismo.

Infine, ci concentreremo sui gruppi \emph{right-angle}, ovvero i gruppi di Artin collegati ai diagrammi di Coxeter dove $m(i,j)\in \{2,\infty\}$, e mostreremo che per alcuni di essi (in particolare per quelli per cui il grafo che li definisce ha le componenti connesse complete) valgono alcune delle condizioni necessarie per l'isomorfismo tra $G_W$ e $G(\mathscr P)$.