• geodesic in infinite dimensional manifolds
• shape space
• Sobolev-type Riemannian metrics
• stochastic image segmentation

Uno dei principali campi di interesse della computer vision è lo studio delle forme nello spazio e nel piano. Il primo problema che si presenta a tal riguardo è la determinazione di un buon modello matematico di forma e di spazio
delle forme.
In questa tesi è stato trattato solo il caso bidimensionale. In prima analisi si è scelto di modellizzare lo spazio delle forme con la varietà di Fréchet delle curve piane, lisce, chiuse e immerse che generaralmente viene indicata
con M_i .1 Tale scelta però introduce un problema di ridondanza: tutte le riparametrizzazioni di una data curva, infatti, rappresentano la stessa forma. Questo avviene perché ́la scelta di una curva equivale a quella di una sua parametrizzazione e ciò non fa parte del concetto di forma: una forma infatti è un oggetto “geometrico”. Apparentemente il problema può essere risolto “passando al quoziente” di M_i rispetto alle riparametrizzazioni.
Questo quoziente però non è una varietà. Per questo motivo si considera in
luogo di M_i una varietà il cui quoziente sia ancora una varietà: lo spazio delle
curve piane, chiuse, lisce e liberamente immerse.
La scelta di uno spazio delle forme avente la struttura di varietà differenziabile è molto importante perché ́consente di definire sul suo fibrato tangente delle metriche riemanniane. Queste ultime permettono di misurare
le distanze fra le forme. L’interesse matematico per queste teorie è legato al fatto che esistono metriche che inducono sullo spazio delle forme distanze degeneri.
In questa tesi sono state analizzate alcune metriche non degeneri, conosciute in letteratura come metriche di tipo Sobolev. Queste metriche sono definite
sul fibrato tangente di M_i (e quindi sul fibrato tangente di M_i,f ⊂ M_i ) e sono
geometriche, cioè “passano al quoziente” rispetto alle riparametrizzazioni delle curve. Particolare attenzione è stata rivolta ad una nuova metrica di
tipo Sobolev introdotta di recente da Mennucci, Sundaramoorthi, Yezzi e Soatto: H.
A differenza delle vecchie metriche di tipo Sobolev, H decompone M_i,f in
tre componenti: posizione, lunghezza e forma. Esiste, infatti, un’isometria
riemanniana fra (M_i,f , H) e la varietà (R^2 × R × Md , (|, |, H)) dove Md ={c ∈ M_i,f | c = 0 e len(c) = 1}. Questa decomposizione ` particolarmente importante perché (Md , H) è a sua volta isometrica ad una varietà di Stiefel
che ammette localmente pseudogeodetiche (il concetto di pseudogeodetica è
stato introdotto in questa tesi per distinguere le geodetiche in una varietà dalle geodetiche nel suo completamento metrico (come varietà)).
La dimostrazione che tale varietà di Stiefel ammette localmente pseudogeodetiche è costruttiva, nel senso che permette di calcolarle esplicitamente.
Questo fatto ha notevole importanza nelle applicazioni. Le formule, infatti,
sono molto semplici e quindi le pseudogeodetiche possono essere calcolate
numericamente in modo molto efficiente.
In questa tesi il calcolo numerico delle pseudogeodetiche è stato utilizzato con buoni risultati per la segmentazione di semplici immagini digitali mediante la minimizzazione dell’energia di Chan-Vese. Sono stati usati tre
approcci: stocastico, deterministico e semistocastico. Il primo prevede la
ricerca del minimo del funzionale mediante un moto browniano di curve, il
secondo usando un algoritmo di discesa nella direzione opposta al gradiente
dell’energia (calcolato rispetto alla metrica H) e il terzo è una versione ibrida
dei primi due algoritmi.