• dischi minimali
• flusso di Ricci

La congettura di geometrizzazione di Thurston afferma che ogni varietà differenziale compatta, connessa, orientabile e irriducibile di dimensione 3 può essere decomposta in modo canonico in sottovarietà che ammettono una struttura geometrica, cioè una metrica riemanniana completa e localmente omogenea. Essa costituisce l’analogo del teorema di uniformizzazione per le superfici e renderebbe possibile la classificazione delle variet`a differenziali compatte di dimensione 3.
Questa congettura ha origine dalla classificazione delle strutture geometriche, operata da Thurston sulla base della classificazione delle metriche in relatività generale: egli individuò 8 possibili geometrie, e riconobbe anche la presenza di vincoli topologici che costituiscono delle ostruzioni per l’esistenza di una struttura geometrica su una varietà; tra questi, la presenza di superfici essenziali di genere 0 e 1.
D’altra parte teoremi classici di topologia in dimensione 3 assicurano (Kneser) una decomposizione canonica in somma connessa di varietà irriducibili, cioè tali che ogni 2-sfera embedded è bordo di una palla, e di alcune copie di S1 × S2. Inoltre ogni varietà irriducibile contiene una famiglia massimale canonica, che può essere vuota, di tori incompressibili (Jaco-Shalen, Johanson). La congettura di geometrizzazione afferma appunto che ciascuna componente ottenuta con decomposizioni di questo tipo ammette una struttura geometrica.
Questa congettura è stata stata dimostrata per un’ampia classe di varietà; un risultato importante è stato il teorema di iperbolizzazione di Thurston: egli lo enunciò nel 1977, mostrando l’architettura completa della dimostrazione e fornendo gli argomenti per la dimostrazione dei passaggi cruciali, e oggi disponiamo di prove indipendentementi (Otal, Kapovich, 1996) di questo teorema, che dà condizioni topologiche sufficienti per l’esistenza di una struttura modellata localmente sullo spazio iperbolico 3-dimensionale.
Insieme ai risultati sulle variet`a grafiche, cio`e le variet`a di Seifert (varietà che ammettono foliazioni in cerchi) e più in generale le variet`a che si ottengono incollando lungo tori di bordo varietà di Seifert, il teorema di iperbolizzazione implica la congettura di geometrizzazione per ogni varietà irriducibile per cui la decomposizione lungo tori non è banale.
A tutt’oggi, nel programma di Thurston rimangono aperte due congetture: una riguarda le varietà potenzialmente iperboliche, cioè quelle con gruppo fondamentale infinito e che non contengono sottogruppi isomorfi a Z × Z, e l’altra le varietà potenzialmente ellittiche, cioè quelle con gruppo fondamentale finito. Quest’ultima è equivalente all’unione della congettura di Poincaré con la congettura che ogni gruppo finito di omeomorfismi di S3 è coniugato ad un gruppo di rotazioni.
In questa tesi ho analizzato una tecnica che è stata usata sia da Hamilton, sia da Perelman; essa prevede l’utilizzo di dischi minimali immersi nella varietà, che vengono fatti evolvere in modo opportuno mentre la metrica segue il flusso di Ricci: misurando la variazione dell’area di questi dischi si può stimare il tempo massimo per cui la metrica sulla varietà è ben definita.