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Il modello semi-geostrofico &egrave stato largamente utilizzato per studiare flussi oceanici e atmosferici. La peculiarit&agrave di questa teoria, che si &egrave rivelata efficiente sotto opportune ipotesi, &egrave di includere nel suo modello gli effetti della spinta ageostrofica.
Consideriamo per esempio il caso dei flussi d' aria nell'atmosfera. L'aria naturalmente si muove dalle zone ad alta a quelle a bassa pressione (spinta da una forza proporzionale al gradiente della pressione); e, a seconda dell'emisfero e della latitudine, viene deviata dalla forza di Coriolis (causata dalla rotazione terrestre). La somma di queste due componenti ci da quella che viene chiamata componente geostrofica del vento. Difficilmente in natura questo coincide con il vento effettivo a causa dell'azione di altre forze come l'attrito con la superficie o la forza centrifuga dovuta alla curvatura terrestre. La componente ageostrofica &egrave appunto definita come la differenza tra il vento effettivo e il vento geostrofico
v_a = v - v_g.
Quindi, detta f la forza di Coriolis, e p la pressione, otteniamo l'equazione differenziale
D_t v_g + f e_3*v = -D p.
Questa tesi è dedicata allo studio del sistema di equazioni (detto appunto semigeostrofico) contenente quest'ultima, le condizioni iniziali, e le condizioni al bordo su un generico spazio tridimensionale limitato e convesso. Esistenza e unicità delle soluzioni &egrave ancora un problema aperto.
Per analizzarlo effettueremo prima di tutto un cambio di coordinate ( X = D P_t(x) ) che trasformer&agrave il nostro sistema di equazioni in uno di cui, grazie ai lavori di Brenier Y. [5] (1991), Benamou J.-D.& Brenier Y. [4](1998), e Cullen M.& Gangbo W. [7](2001), dimostreremo l' esistenza di una soluzione debole sfruttando un opportuno schema di discretizzazione del tempo.
Estenderemo poi questo risultato di esistenza per trovare una soluzione nello spazio fisico: da una proprietà della teoria del trasporto per campi vettoriali a variazione limitata (dai lavori di Ambrosio L.[1] (2004) e Cullen M.& Feldman M.[6](2006)), nell'ultimo capitolo dimostreremo l'esistenza di una soluzione debole Lagrangiana per il nostro sistema iniziale.