• Wiener cilindrico
• forward rate
• long rate
• modello HJM

Lo scopo della Tesi è quello di presentare il modello di Heath, Jarrow e Morton per i tassi d’interesse e una sua generalizzazione supponendo la fluttuazione stocastica di dimensione infinita.
Nel primo capitolo vengono ricordate le nozioni fondamentali di probabilità basilari per la comprensione della Tesi. Vengono riepilogati i passi principali per la costruzione dell’integrale stocastico per processi adattati e di quadrato integrabile q.o. rispetto a una probabilità data P, accennando all’integrazione stocastica rispetto alle semi-martingale, la più grande classe di processi rispetto a cui si può effettuare l’integrale stocastico. L’obiettivo principale del capitolo è quello di fornire le dimostrazioni di due importanti teoremi dell’analisi stocastica: il teorema di rappresentazione delle martingale e il teorema di Girsanov. Come completamento del capitolo abbiamo dedicato un paragrafo alla condizione di Novikov, sufficiente affinchè un processo X adattato ad una filtrazione F sia una martingala.
Nel secondo capitolo si accenna alla teoria degli operatori su spazi di Banach e spazi di Hilbert, definendone una norma e presentando risultati quali quello di metrizzabilità della palla unitaria nel duale di uno spazio di Banach separabile dotato della topologia debole* oppure il teorema di Banach-Steinhaus.
Una particolare attenzione viene rivolta ad una precisa classe di operatori tra spazi di Hilbert: gli operatori di Hilbert-Schmidt, introdotti da Hilbert nella teoria delle equazioni integrali lineari. Questa classe di operatori ricopre
un ruolo fondamentale nella Tesi in quanto concorre a definire la generalizzazione del modello HJM.
Nel terzo capitolo vengono fornite le basi economiche utili alla contestualizzazione da un punto di vista finanziario del modello HJM. In esso vengono date le definizioni basilari quali il money account, il prezzo di un bond, i tassi d’interesse; vengono inoltre riportati risultati fondamentali della finanza matematica come il I Fundamental Theorem of Asset Pricing e il II Fundamental Theorem of Asset Pricing, trattati sia nel caso di tempi discreti, sia nel caso di tempi continui. Infine viene specificata la notazione, introdotta da Musiela nel 1993, che verrà utilizzata nei capitoli che seguono.
Nel quarto capitolo viene presentato il modello di Heath, Jarrow e Morton.
Partendo dalla modellizzazione della dinamica dei tassi futuri (forward rates) si ottiene quella dei prezzi dei bonds e dei bonds attualizzati aventi ogni scadenza desiderata. Viene trattata la relazione tra il modello e la condizione
di assenza di arbitraggio e il problema del ricoprimento degli attivi aleatori.
Viene fornito un risultato che assicura la completezza del mercato anche se in questo contesto risalta una particolarità, o difetto, del modello: ogni attivo aleatorio è replicabile a partire da un numero finito di bonds scelti precedentemente e indipendenti dall’attivo da coprire. Anche da questa considerazione deriva la necessità di generalizzare il modello sacrificando la completezza del mercato.
L’obiettivo principale della Tesi viene raggiunto negli ultimi due capitoli.
Nel quinto capitolo viene introdotta la teoria riguardante gli spazi di Banach (che supporremo quasi sempre separabili) di dimensione infinita, centrali nella trattazione dell’ultimo capitolo. Viene definita una misura Gaussiana su spazi di Banach, indipendentemente dalla dimensione, in modo da poter definire un processo di Wiener su tali spazi. Viene estesa la teoria dell’integrazione stocastica agli integrandi a valori in uno spazio di operatori, coinvolgendo anche i teoremi trattati nel primo capitolo. In particolare viene generalizzato il teorema di rappresentazione delle martingale considerando martingale a valori in uno spazio di Hilbert separabile. Per poter estendere il teorema di Girsanov abbiamo prima definito lo spazio di Hilbert generato da un nucleo autoriproducente (Reproducing Kernel Hilbert Space), uno spazio di Hilbert visto come sottospazio di uno spazio di Banach. Per ricondurre lo studio su spazi di dimensione infinita a quello su spazi di dimensione finita abbiamo introdotto la nozione di cilindro con la conseguente misura cilindrica, utile nello studio del processo di Wiener da considerare. Per completare il capitolo abbiamo dato qualche nozione di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali stocastiche.
Nel sesto capitolo, come anticipato, viene presentata la generalizzazione della classe di modelli HJM. Partendo da ipotesi sullo spazio scelto per studiare la dinamica dei tassi futuri, definiamo un modello HJM su uno spazio di Banach arbitrario. In questo contesto è interessante rivedere le tematiche affrontate nel quarto capitolo cercando di indagare quali proprietà rimangono immutate. Vengono quindi riformulate le condizioni che assicurano l’assenza di arbitraggio e viene sostituita la proprietà di completezza del mercato, che si perde nell’opera di generalizzazione, con quella di completezza asintotica del mercato. Per quanto riguarda ulteriori osservazioni su dinamiche legate a questo modello, abbiamo voluto inserire il comportamento dei tassi a lungo termine (long rates). Infine abbiamo mostrato un esempio di una famiglia di spazi che soddisfano le ipotesi per poter definire un modello HJM.