• Teorema di Hörmander
• SPDEs
• tassi di interesse
• calcolo di Malliavin

In questo lavoro di tesi vogliamo presentare una panoramica su alcuni aspetti significativi dell'analisi stocastica in dimensione infinita. Una delle motivazioni di questi studi proviene dal mondo della Finanza Matematica e nello specifico, per questo lavoro, dalla teoria dei tassi di interesse. I modelli di equazioni che ci interesseranno saranno quelli di Heath-Jarrow-Morton. Tra le varie tipologie di equazioni ci interesseremo alle equazioni differenziali stocastiche nel senso di Da Prato-Zabczyk, ovvero di equazioni in spazi infinito-dimensionali di cui la suddetta equazione HJM sui tassi di interesse è un particolare esempio. Tra le varie proprietà di cui una soluzione di questo tipo di equazioni può godere vi è l'esistenza di una densità. Nel caso infinito-dimensionale il Teorema di Hörmander fornisce condizioni affinché ciò accada, dunque è lecito chiedersi se vi sia una versione in dimensione infinita di tale risultato. Ma il Teorema di Hörmander si basa sul cosiddetto Calcolo di Malliavin. Per questo, nel secondo capitolo passeremo in rassegna i principali concetti e risultati di questo tipo di Calcolo. Nel terzo capitolo ci dedicheremo dunque alla dimostrazione di una versione infinito-dimensionale del Teorema di Hörmander, in relazione a una particolare sotto-tipologia di equazioni stocastiche alla Da Prato-Zabczyk. Nel quarto capitolo applicheremo quanto appena visto al caso dell'equazione HJM sui tassi d'interesse, proseguendo poi con altre applicazioni.