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Recentemente è emerso un notevole interesse nello studio di come poter modificare le proprietà dei materiali attraverso l'interazione della materia con modi fotonici di cavità, essendo stata dimostrata sperimentalmente l'esistenza di un regime di interazione forte luce-materia.

L'interazione luce-materia nello spazio libero è debole, ma quando un materiale viene posto all'interno di una cavità elettromagnetica, il volume di quest'ultima può essere ridotto dando origine ad un'interazione forte tra gli elettroni ed i modi fotonici quantizzati. Tale interazione fa si che il numero di fotoni richiesti per modificare la fisica del sistema possa essere ridotto fino ad arrivare al punto in cui nessun fotone è più necessario [F. Schlawin et Al. Appl. Phys. Rev. 9, 011312 (2022)], e le sole fluttuazioni quantistiche del campo di vuoto permettono di manipolare efficacemente il sistema. L'accoppiamento paramagnetico corrente-potenziale vettore all'interno di una cavità elettromagnetica porta ad un'interazione efficace attrattiva elettrone-elettrone [F. Schlawin et Al. Appl. Phys. Rev. 9, 011312 (2022)]. Quest'ultima però, al contrario dell'interazione presente nella teoria BCS, accoppia elettroni che risiedono nello stesso intorno della superficie di Fermi [F. Schlawin et Al. Appl. Phys. Rev. 9, 011312 (2022)] (interazione "Amperiana"), aprendo le porte ad accoppiamenti non convenzionali che possono portare ad una transizione alla fase superconduttiva con temperature critiche maggiori di quelle ad oggi raggiunte.
Sebbene la maggior parte degli studi dei materiali in cavità si concentrino sul solo accoppiamento elettrone-fotone precedentemente descritto, gli elettroni interagiscono anche con le oscillazioni fononiche del reticolo; tale accoppiamento può essere descritto in modo efficace attraverso un termine di interazione elettrone-potenziale vettore [M. A. H. Vozmediano et Al. Phys. Rep. 496, 109 (2010)], in piena analogia con il caso fotonico. Risulta dunque interessante chiedersi se le due interazioni microscopiche possano contribuire in modo costruttivo, oppure se la presenza dell'interazione elettrone-fonone vada a ridurre le interessanti proprietà precedentemente descritte.
L'obiettivo del seguente lavoro di Tesi è di studiare la competizione di tali interazioni in un foglio di grafene posto all'interno di una cavità elettromagnetica planare di Fabry-Pérot.
Nel Capitolo 1 è riportato lo stato dell'arte per quanto concerne i materiali bidimensionali posti all'interno di cavità elettromagnetiche. In particolare, vengono riportati i più recenti risultati sperimentali ottenuti nei regimi di interazione luce-materia forte ed ultra forte, discutendo inoltre i principali modelli teorici finalizzati allo studio dei sistemi sottoposti a tali regimi.
Nel Capitolo 2 vengono riassunte le principali tecniche teoriche che sono state poi utilizzate per lo sviluppo del modello teorico di interesse.
Dal Capitolo 3 ha inizio il lavoro originale della Tesi.
Nel Capitolo 3 viene derivata l'Hamiltoniana d'interazione tenendo in considerazione sia le interazioni dirette elettrone-fotone che quelle elettrone-fonone. In particolare, l'interazione elettrone-fotone è stata ricavata mediante la sostituzione di Peierls, mentre l’interazione elettrone-fonone è stata ottenuta eseguendo la derivata del parametro di hopping rispetto allo spostamento atomico dalla sua posizione d’equilibrio.
Nel Capitolo 4 viene esposto il calcolo dell'interazione efficace elettrone-elettrone attraverso una trasformazione canonica di Schrieffer-Wolff: a tal proposito è stata introdotta un'innovativa tecnica diagrammatica in grado di semplificare e velocizzare la derivazione del potenziale efficace, evitando così il calcolo esplicito di numerosi commutatori ed esaltando inoltre la fisica del sistema.
Nel Capitolo 5 sono riportati i risultati ottenuti. In particolare, vengono discussi i grafici del potenziale efficace elettrone-elettrone, ponendo particolare attenzione a come le due interazioni dirette elettrone-fotone ed elettrone-fonone interferiscano l'una con l'altra, ed analizzando la condizione tale per cui l'interazione efficace è massimamente attrattiva.