• mappa di Poincarè
• stabilità
• sistemi dinamici
• invecchiamento
• camminatori passivi

Riassunto della Tesi.
Titolo della Tesi:Formulazione e sviluppo di un modello teorico di locomozione bipede
passiva in due dimensioni.

Relatori:
Dott. Vito Monaco,
Prof. Silvestro Micera,
Prof. Alberto Del Guerra.

Candidato:
Ettore Etenzi.

Introduzione.

Il cammino umano è un compito motorio che, attraverso la successione ciclica
e anti-simmetrica dei movimenti degli arti, consente la progressione
in avanti dell’intero corpo con un’ottima efficienza energetica. Tale efficienza si basa prevalentemente sulla capacità di convertire l’energia cinetica
in energia potenziale, e viceversa, sfruttando le oscillazioni “pendolari”
degli arti. Questa configurazione riduce significativamente l’intervento delle
forze muscolari e abbatte il costo metabolico.
L’efficienza energetica del cammino viene tuttavia inficiata sia da patologie
neuromuscolo-scheletriche che dal naturale invecchiamento. A titolo di
esempio si riporta che un amputato bilaterale trans-tibiale sopporta un costo
metabolico di circa il 40% superiore a quello di un soggetto sano, a partita di
età, antropometria e velocità del passo. L’invecchiamento, invece, comporta
un aumento del costo metabolico che può raggiungere circa il 20% rispetto
alle condizioni di partenza. Pertanto sono stati compiuti numerosi sforzi per
favorire un recupero delle capacità originarie di questi soggetti.
Una delle soluzioni proposte in letteratura per agevolare la locomozione
degli individui affetti da ridotte capacità motorie è l’impiego di esoscheletri.
L’esoscheletro nasce come dispositivo in grado di potenziare
le capacità fisiche dell’utilizzatore mediante l’impiego di sistemi di attuazione
più o meno complessi [3], e viene poi sviluppato per migliorare
l’autonomia dei soggetti affetti da patologie neuro-muscolo-scheletriche.
Nonostante i numerosi progressi compiuti nello sviluppo di questi dispositivi,
il loro impiego risulta attualmente limitato. In particolare gli esoscheletri
sono adottati principalmente da individui, spinti da una forte carica motivazionale,
ed affetti da gravi deficit, i quali altrimenti non sarebbero assoluta-mente autonomi. Inoltre, dato il notevole ingombro, la ridotta indossabilità, i costi di gestione e/o manutenzione, la scarsa autonomia energetica, questi
dispositivi sono, attualmente, utilizzati quasi esclusivamente in ambito di
ricerca. Per tutte queste ragioni, tali sistemi non sembrano rispondere alle esigenze dei soggetti affetti da una moderata, sebbene
significativa, riduzione della capacità motoria.
Una soluzione alternativa al problema consiste nello sfruttare esoscheletri
composti esclusivamente da componenti passivi. Questa prospettiva è potenzialmente
molto promettente data l’intrinseca affinità tra la locomozione
umana e la dinamica di robot “camminatori” passivi. Tuttavia, la progettazione
e lo sviluppo di questi dispositivi necessita della conoscenza approfondita
di modelli di locomozione che descrivano l’accoppiamento uomomacchina
come un’unica unità.

Obiettivo.

L’obiettivo principale di questa tesi magistrale consiste nello sviluppare il
modello matematico di un camminatore passivo i cui arti inferiori siano
caratterizzati da adeguate proprietà elastosmorzanti, tali da consentire una
locomozione caratterizzata da parametri cinematici (velocità di cammino,
cadenza, durata delle fasi del passo) confrontabili con quelli reali. In particolare,
sarà necessario identificare il dominio dei parametri elasto-smorzanti
in grado di descrivere il cammino umano in un ampio intervallo di condizioni
cinematiche, così da emulare la locomozione di soggetti con ridotte capacità
motorie di differente severità. In relazione alle specifiche per la progettazione
e lo sviluppo dell’esoscheletro, il modello si riterrà adeguato se sarà in grado
di raggiungere condizioni di avanzamento asintoticamente stabili.
Infine il modello proposto dovrà essere validato confrontando le sue prestazioni
con i dati disponibili in letteratura [5].

Stato dell’arte.

In letteratura, numerosi autori hanno sviluppato modelli matematici della
locomozione ispirati al principio del pendolo semplice, costituiti prevalentemente
da una massa concentrata all’altezza del baricentro e provvista di due
arti rigidi [1].
Questi modelli riescono ad oscillare garantendo una dinamica stabile entro
un certo intervallo di velocità. Inoltre, descrivono bene sia la traiettoria del
centro di massa durante la locomozione umana che le curve di trasferimento
dell’energia cinetica e potenziale [1].
Il più semplice modello riportato in letteratura ed ampiamente citato
come riferimento è la “Rimless Weel” [3], ovvero una ruota a raggi privata
del cerchione esterno che si muove in discesa lungo un piano
inclinato. Durante il moto, l’unica perdita di energia è rappresentata
dall’urto tra i raggi della ruota con il piano.
Lo studio della Mappa di Poincarè dimostra che tale sistema presenta
punti fissi stabili e non banali quando prosegue a muoversi in discesa in bilanciando
l’energia dissipata negli urti con quella guadagnata per abbassamento
del centro di massa. Tale modello risulta capace di spiegare in modo efficace
i processi di interconversione dell’energia cinetica e poteziale, e riproduce in
modo verosimile la traiettoria del centro di massa.
Tuttavia il modello a pendolo rovesciato non è in grado di descrivere
correttamente l’interazione con il suolo in termini di forze scambiate. Inoltre trascura un aspetto importante del ciclo del passo: la
fase di appoggio su entrambi gli arti.
Per questo motivo è stato introdotto il modello ad arti flessibili. In questo caso lo studio della stabilità dinamica del sistema dimostra
che è possibile ottenere punti fissi stabili, in corrispondenza dei quali
si trovano le curve di reazione compatibili con quelle reali.
I limiti di questo modello stanno tuttavia nel fatto che, per come è definito, risulta del tutto conservativo (non ci sono attriti e la presenza delle molle esclude la possibilità di dissipazioni al momento del contatto di un asta con ilsuolo). Questa circostanza rende tale modello non molto realistico. Durante
la camminata infatti si osservano numerosi fenomeni dissipativi, che vengono
bilanciati dal lavoro concentrico dei muscoli.
Sulla base di queste osservazioni è stato formulato, studiato ed implementato
un nuovo modello di camminatore.
Camminatore con elementi elasto-smorzanti sugli arti.
La parte principale di questo lavoro di tesi consiste nella formulazione di un
modello matematico di locomozione bipede in grado di rirpodurre la reazione
al suolo tipica del modello ad arti flessibili, permettendo allo stesso tempo
un continuo scambio di energia con l’esterno. La soluzione proposta è quella
di utilizzare arti dotati ciascuno di una coppia molla-smorzatore che agisce
telescopicamente. In questo modo è possibile tener conto
degli effetti dissipativi che si hanno durante la camminata.
La massa è concentrata anche in questo caso solo nel punto al vertice
del camminatore. Inoltre il modello bidimensionale è pensato per spostarsi
lungo un piano inclinato, la cui pendenza fornisce una misura dell’efficienza
del sistema.
Anche in questo caso si è reso necessario lo studio della dinamica del sistema mediante la Mappa di Poincarè, al fine di valutare l’esistenza e la
stabilità di punti fissi.
Il modello è stato poi sottoposto ad una procedura di validazione sulla
base di dati disponibili dalla letteratura [5]. Sono stati in questo senso inseriti
nel camminatore valori della lunghezza a riposo degli arti, e dell’apertura
angolare  del passo misurati su un campione di soggetti adulti sani. Si è
poi verificato che per tali parametri di ingresso, esistono dei punti fissi stabili
nella Mappa di Poincarè in corrispondenza dei quali il camminatore procede
con la medesima velocità media dei suddetti soggetti.
Tale validazione è stata eseguita con una procedura di ottimizzazione euristica.
Sono infatti state scelte la costante elastica k, la costante di smorzamento
b, e la pendenza del piano inclinato
, in modo da ottenere una Mappa
di Poincarè adeguata alle caratteristiche richieste.
A titolo di esempio si mostra una Mappa di Poincarè realizzata
inserendo in ingresso nel modello i parametri
lunghezza arti = 0.8m
apertura falcata  = 45°,e
scegliendo nel modo seguente le altre costanti k costante elastica= 20000 N/m;
costante di smorzamento b = 240 N·s/m ;
pendenza del piano=2.2°.
In questo modo si verifica la presenza di un punto fisso stabile, in corrispondenza del quale il camminatore procede ad una velocità media v =
1.13 m/s , che è confrontabile con la velocità media v = 1.14±0.09 m/s del gruppo
di individui da cui erano stati estratti i parametri antropometrici l0 e 
[5].
Si noti inoltre che tale risultato si ottiene per un valore della costante
elastica compatibile con il valor medio della rigidità K = 21850 N
m della gamba in soggetti sani, misurato durante la sua fase di appoggio al suolo [6].
Tale validazione è stata ripetuta per tre valori diversi della velocità di
avanzamento dello stesso gruppo di individui.


Conclusioni.
I risultati presentati mostrano sia che il modello proposto riesce ad agganciare
cicli di avanzamento stabili. Ovvero il camminatore si è dimostrato in grado
di avanzare per una distanza arbitrariamente scelta senza cadere. Questo era
uno dei traguardi iniziali, ma comunque fondamentali per poter proseguire
nel lavoro.
Il modello ha poi superato una procedura di validazione, durante la quale
si è analizzata la sua velocità di progressione una volta inserite in ingresso
alcune variabili antropometriche, come la lunghezza degli arti l0 e l’apertura
 della falcata. Tali variabili sono state selezionate sulla base di studi di
letteratura [5]. Attraverso una scelta opportuna delle costanti elastiche k e di
smorzamento b, e della pendenza del piano inclinato
, sono stati individuati
punti fissi stabili nella Mappa di Poincarè. In corrispondenza di tali punti il
camminatore è riesce ad avanzare in modo dinamicamente stabile a velocità
medie confrotabili con quelle dei soggetti da cui erano stati misurati e .
Questo significa che il sistema, quando accetta in ingresso parametri
antropometrici verosimili, riesce ad avanzare in modo stabile ad una velocità
media compatibile con quelle umane. Questo è il principale risultato di
questo lavoro di tesi, ed anche l’obiettivo più importante che si era prefisso
all’inizio del progetto.


Bibliografia
[1] M. Garcia, A. Chatterjee, A. Ruina, M. Coleman. “The simplest walking
model: Stability, complexity, and scaling.” - J BIOMECH ENG TRANS
ASME, 1998.
[2] H. Geyer et all. “Compliant leg behaviour explains basic dynamics of
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[3] M. J. Coleman, A. Ruina. “Motions of a rimless spoked wheel: a simple
2d systems with impacts.” - Cornell University 2002.
[4] A. M. Grabowski, H. M. Herr. “Leg exoskeleton reduces the metabolic
cost of human hopping” - J Appl Physiol 107: 670–678, 2009.
[5] V. Monaco, L. A. Rinaldi, G. Macrì, S. Micera. “During walking elders
increase eorts at proximal joints and keep low kinetics at the ankle.” - J.
Clinical Biomechanics, 2009.
[6] S. Siegler, R. Seliktar, W. Hyman. “Simulation of human gait with the
aid of a simple mechanical model.” J Biomech. 1982;15(6):415-25.
[7] N. Yagn. “Apparatus for facilitating walking, running, and jumping.” U.S.
Patents 420 179 and 438 830, 1890.
[8] H. Kawamoto, S. Lee, S. Kanbe, and Y. Sankai. “Power assist method for
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Syst., Man, Cybern., 2003, pp. 1648–1653.