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La grafite \`e un solido tridimensionale ampiamente studiato sin dagli anni Quaranta, costituito da atomi di carbonio disposti su strati debolmente legati fra loro, ciascuno dei quali \`e un reticolo esagonale ``a nido d'ape'', detto grafene. Il singolo strato di grafene \`e un semiconduttore
a gap nullo, le cui bande di valenza e di conduzione si toccano al ``punto di Dirac'' (punti $K$ e $K'$ della zona di Brillouin). Vicino al punto di Dirac le bande energetiche sono coniche e gli stati elettronici possono essere descritti da un'equazione di Dirac-Weyl, in cui il ruolo dello spin \`e giocato dal grado di libert\`a di sottoreticolo, detto ``pseudospin''. Fino al 2004-2005 tuttavia, anni in cui A. Geim e K. Novoselov (Manchester) sono riusciti ad isolare un singolo strato di grafene grazie al taglio micromeccanico della grafite, l'esistenza di questo materiale allo stato libero era ritenuta impossibile, a causa della sua presunta instabilit\`a. La scoperta del singolo strato di grafene allo stato libero ha aperto la strada allo studio delle propriet\`a elettroniche di questo nuovo materiale: da questo punto di vista esso \`e estremamente interessante perch\'e, oltre a esibire una banda lineare al punto K, \`e una membrana dello spessore di pochi \AA ngstr\"om, i cui elettroni esibiscono mobilit\`a elevate, anche a temperatura ambiente. Le propriet\`a di trasporto di questo nuovo materiale sono molto sensibili alle imperfezioni ma soprattutto alle impurezze presenti nel campione. Un esempio \`e la dipendenza circa lineare della conduttivit\`a dalla densit\`a di portatori di carica (o dal voltaggio di ``gate'').

In questo lavoro abbiamo analizzato il problema di singola impurezza Coulombiana in un foglio di grafene. Abbiamo trattato questo problema esattamente, risolvendo il problema di Dirac-Kepler di un singolo fermione di Dirac a massa nulla nel campo Coulombiano di un'impurezza carica [Shytov \etal, Phys. Rev. Lett. 99, 236801 (2007); ibid. 246802 (2007)]. Abbiamo confermato la presenza di due regimi caratteristici per le soluzioni di questo problema e l'esistenza di stati quasi-legati in uno di questi regimi (regime ``super-critico''). Abbiamo poi usato questi risultati per calcolare, con l'ausilio di metodi numerici, alcune importanti osservabili fisiche tra cui la densit\`a elettronica locale e la densit\`a degli stati, analizzando l'impatto dell'esistenza dei due regimi detti su queste osservabili. Come risultati originali di questa Tesi di Laurea Magistrale abbiamo studiato le propriet\`a di assorbimento ottico di un foglio di grafene in presenza di impurezze. In particolare, abbiamo calcolato numericamente come l'assorbimento si discosta dal valore universale predetto in assenza d'impurezze---ovvero $\pi \alpha \sim 2.3\%$, ove $\alpha = e^2/(\hbar c)$---al variare della carica e della densit\`a di impurezze.