L'omologia di Khovanov è stata introdotta nel 1999 da Mikhail Khovanov come categorificazione
del polinomio di Jones. Questa teoria (co)omologica ha assunto in breve tempo una notevole
importanza, anche collegata al fatto che essa è estremamante computatbile. L'omologia di
Khovanov è un invariante di link e, inoltre presenta delle proprietà funtoriali (dimostrate per la
prima volta da Jacobsson nel suo articolo “An invariant of link cobordisms from Khovanov
homology
”).
Nel 2005 Dror Bar-Natan, nel suo articolo “Khovanov homology
for tangles and cobordisms”,
riprende la teoria di Khovanov, che nel frattempo, con diverse complicazioni, era stata generalizzata
anche ai tangle (si veda l'articolo di Khovanov “A Functor-Valued Invariant of Tangles”), e la
presenta in una maniera più geometrica dando vita ad una teoria di Khovanov formale.
La presente tesi ripercorre la dimostrazione della funtorialità data da Bar-Natan nel summenzionato
articolo e indaga sulle proprietà funtoriali dell'omologia di Khovanov. Il lavoro è organizzato come
segue.
Nel Capitolo 0 vengono richiamate alcune definizioni di base della teoria dei nodi, come quelle di
nodo, link, tangle, diagramma e invariante. Inoltre, viene presentata la costruzione del polinomio di
Jones per link.
Il Capitolo 1 è dedicato alla descrizione della teoria formale di Khovanov e alla descrizione delle
sue relazioni con l'omologia di Khovanov e con le TQFT. Il capitolo esordisce con la descrizione
del cubo degli incroci e con la presentazione dei cubi in categorie. Successivamente viene descritto
il contesto nella quale è possibile definire la nostra teoria formale e viene introdotta la parentesi di
Khovanov . Infine, viene provata l'invarianza per cambio di diagramma della parentesi ed introdotto
il grado quantico nel nostro complesso formale. Come corollario si ottiene l'invarianza
dell'omologia di Khovanov.
Per introdurre la funtorialità dell'omologia di Khovanov è necessario cambiare un pò il contesto. Per
questa ragione, nel Capitolo 2, vengono introdotti i cobordismi di link generici e le loro
rappresentazioni. In particolare, la rappresentazione di questi cobordismi a noi congeniale è quella
tramite movie. Due movie di superfici rappresentano superfici ambientalmente isotope, a bordo
fisso, se e solo se sono correlati da un numero finito di mosse di movie. Proprio utilizzando queste
che verrà dimostrata la funtorialità a meno di segno del complesso formale di Khovanov.
Il quarto capitolo invece presenta alcuni risultati nuovi. In particolare, indaga sulla monodromia dei
nodi, nel senso di Jacobsson (si veda “An invariant of link cobordisms from Khovanov homology
”).
Viene provata l'invarianza, a meno di isomorfismi, del suddettto gruppo e vengono calcolati alcuni
gruppi di monodromia.