• geometria iperbolica

Nelle sue note del 1980 sulle 3-varietà Thurston costruisce per la prima volta una famiglia di 3-varietà iperboliche incollando tra loro le facce di poliedri iperbolici. Più in generale sembra oggi avere ancora una certa importanza, nella teoria delle varietà iperboliche, lo studio delle proprietà dei poliedri iperbolici. In questo senso un risultato di respiro davvero ampio è fornito da Rivin e Hodsgon in un loro articolo del 1993, laddove si caratterizzano i poliedri iperbolici compatti sulla base degli angoli diedrali, risultato poi ampliato dal primo autore ai poliedri iperbolici ideali e, più in generale, ai poliedri iperbolici di volume finito.

L’oggetto della presente trattazione sarà la dimostrazione dei risultati principali di questa caratterizzazione, nonché lo studio sistematico degli strumenti adottati dagli autori. In particolare, nel Capitolo 2 esponiamo in dettaglio la definizione e le proprietà della trasformata polare, essenzialmente un analogo della mappa di Gauss per i poliedri, laddove si sostituiscano i piani tangenti con opportuni piani detti piani di supporto. Mentre il vettore unitario ortogonale uscente da un piano euclideo è un punto della sfera, per i piani iperbolici dovremo introdurre (nel Capitolo 1) una particolare varietà semi-riemanniana detta sfera di de Sitter. Nel Capitolo 3 introdurremo poi il concetto di trasformata polare generalizzata per i poliedri di volume finito, che presentano delle peculiarità. La dimostrazione della caratterizzazione verrà poi completata nel Capitolo 5 per il caso dei poliedri compatti, nel Capitolo 6 per il caso dei poliedri ideali e nel Capitolo 7 nel caso dei poliedri di volume finito. Il caso di gran lunga più interessante è quello dei poliedri ideali, in quanto una opportuna riformulazione della caratterizzazione è alla base di un algoritmo efficiente per la realizzazione di poliedri ideali con una data struttura combinatoria.

Alcuni importanti risultati di unicità per i poliedri iperbolici sono dimostrati nel Capitolo 4. Tra questi citiamo:
– il fatto che un poliedro iperbolico compatto con una data struttura combinatoria sia individuato a meno di congruenza dagli angoli interni alle facce;
– il fatto che un poliedro iperbolico ideale con una data struttura combinatoria sia individuato a meno di congruenza dai suoi angoli diedrali.

Nel Capitolo 7 citiamo anche il fatto che la caratterizzazione di Rivin dei poliedri iperbolici ideali è anche una caratterizzazione dei poliedri euclidei che è possibile inscrivere nella sfera unitaria, il che rappresenta la soluzione a un problema formulato per la prima volta nel 1832 da Jakob Steiner.

In conclusione viene data anche un’idea per estendere questa caratterizzazione alle dimensioni più alte, caratterizzazione che sarebbe sicuramente utile per la costruzione di varietà iperboliche di dimensione maggiore di 3.