• Metrica di Wasserstein
• Misfit

Un problema inverso ha come scopo la determinazione o la stima dei parametri incogniti di un modello, conoscendo i dati da esso generati e l’operatore di forward modelling che descrive la relazione tra un modello generico e il rispettivo dato predetto. In un qualunque processo d’inversione, l’informazione fondamentale per l’aggiornamento dei modelli di prova è l’andamento di una determinata funzione oggetto che quantifichi la differenza tra i dati acquisiti da invertire e i dati predetti dai modelli stessi. Tale funzione deve essere definita in modo da minimizzarsi, o massimizzarsi, quando il dato predetto coincide con quello osservato, ovvero quando il modello di prova rappresenta la soluzione del problema inverso.
Nell’inversione di dati sismici questa scelta ricade, salvo rare eccezioni, sulla norma L2 della differenza tra il dato predetto e il dato osservato, definita come la somma degli scarti quadratici dei singoli campioni che li costituiscono. Tale scelta è motivata dalle numerose proprietà vantaggiose di questa funzione, ad esempio: semplicità computazionale, bassa sensibilità alla presenza di noise nel dato, elevata risoluzione. La stessa funzione presenta, tuttavia, il problema del cycle-skipping: avendo a che fare con dati oscillanti, la sovrapposizione di porzioni di segnale con la stessa polarità porta alla generazione di minimi locali nell’andamento della funzione oggetto a cui può convergere l’inversione qualora lo starting model scelto nell’inversione non sia sufficientemente vicino al modello reale, portando, inevitabilmente, ad una soluzione errata del problema.
Nella prima fase del lavoro sono state, quindi, prese in considerazione alcune funzioni di misfit alternative all’inversione di dati sismici. In questa fase, sono state selezionate alcune funzioni oggetto che, come mostrato negli articoli, godono di proprietà tali da fornire risultati attendibili quando applicate all’inversione di dati sismici: fase e inviluppo istantanei, Adaptive Waveform Inversion, e metrica di Wasserstein. Nella scelta si è provato ad esplorare funzioni di varia natura matematica: le prime due sfruttano la semplicità computazionale della trasformata di Hilbert, permettendo di separare le informazioni sull’ampiezza del segnale da quelle sulla fase; l’AWI calcola invece il filtro di Wiener necessario a convertire la traccia predetta in quella osservata (o viceversa), e la funzione oggetto quantifica la differenza tra tale filtro e il filtro identità; la distanza di Wasserstein, infine, è una metrica di trasporto e, data una funzione di costo, calcola il minimo valore che tale funzione può assumere quando si converte una distribuzione (ad esempio una delle tracce predette da un modello di sottosuolo) in un’altra (la rispettiva traccia nel dato osservato). Su quest’ultima in particolare è stata rivolta la maggiore attenzione nelle fasi successive del lavoro, trattandosi di una funzione solo recentemente presa in considerazione come potenziale alternativa alla norma L2.
Nella seconda parte del lavoro le funzioni scelte sono state implementate in codici Matlab, per studiarne le proprietà, sfruttando come dato osservato il sismogramma sintetico generato da un modello convoluzionale di sottosuolo a strati piani e paralleli, e facendo variare le velocità di propagazione delle onde nei due strati più superficiali. Sono state valutate alcune proprietà delle funzioni, come la convessità per le traslazioni temporali della traccia, la semplicità computazionale e la sensibilità al rumore nel dato. L’AWI ha richiesto alcune operazioni di triggering per restituire un andamento soddisfacente, mentre la metrica di Wasserstein, che richiede alcune operazioni di preparazione delle tracce prima dell’applicazione, mostra una forte sensibilità al rumore quando tali operazioni non ne lasciano nulla la media. Un’altra osservazione ha riguardato i tempi computazionali delle funzioni considerate: inviluppo e fase istantanei, almeno quando applicati a dati di piccole dimensioni come quelli fin qui considerati, richiedono un tempo molto breve; la metrica di Wasserstein è più costosa, ma sembra idonea ad essere applicata per alcune iterazioni in un’inversione che la sfrutti per generare uno starting model accurato per la norma L2; l’AWI, infine, ha richiesto tempi di calcolo nettamente maggiori.
La terza e ultima fase del lavoro si è concentrata sullo studio di strategie di inversione tramite algoritmi genetici testando le potenzialità della metrica di Wasserstein. In questa fase sono stati considerati una singola traccia a zero offset ottenuta dal modello usato in precedenza, e il dato sintetico ottenuto da un modello di velocità 2D.
Lo studio ha mostrato come, a costo di un tempo di calcolo maggiore, la metrica di Wasserstein possa permettere una rapida convergenza dell’inversione, portandola, in un numero non eccessivo di iterazioni, a raggiungere una stima dei parametri del modello abbastanza accurata da permettere di applicare la norma L2 senza incorrere nel problema del cycle skipping. Sono emerse, tuttavia, alcune criticità nell’impostazione di questa metrica, che possono complicare la convergenza dell’inversione qualora non si effettuino alcune operazioni di preparazione del dato predetto ed osservato.