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In presenza di disordine statico, gli autostati di una singola particella possono diventare localizzati (la funzione d’onda va a zero esponenzialmente su una scala che viene comunemente indicata come lunghezza di localizzazione). Questo fenomeno, che prende il nome di localizzazione di Anderson, è stato studiato in modo intenso sia teoricamente che sperimentalmente fin dalla sua scoperta nel 1958, ormai più di 50 fa. Mentre la comprensione della localizzazione di particelle non-interagente è ben assodata, la situazione in presenza di interazioni non è altrettanto chiara perché i processi di scattering tra particelle competono con il disordine tendendo quindi a delocalizzare le particelle.

Il problema della localizzazione in sistemi a molti-corpi negli ultimi anni ha vissuto una riaccensione dell’interesse da parte di numerosi studiosi. Studi teorici e numerici suggeriscono che, anche in presenza di interazioni, se il sistema `e sufficientemente disordinato la localizzazione può o persistere per tutti gli stati che compongono lo spettro. Mentre all’aumentare della costante di accoppiamento associata alle interazioni, il sistema delocalizza. Al variare delle varie costanti di accoppiamento è quindi possibile che il sistema passi da una fase localizzata ad una delocalizzata subendo quella che viene chiamata transizione localizzione/delocalizzazione a molti corpi o equivalentemente transizione Many Body Localized /Delocalized (MBLD).

La studio della transizione MBLD riveste un ruolo di grande importanza in quanto alla base dei fondamenti stessi della meccanica statistica quantistica. Infatti nella fase delocalizzata la dinamica del sistema lo porta ad uno stato di equilibrio termico descrivibile con la meccanica statistica (ovvero il sistema è ergodico), mentre nella fase Many Body Localized (MBL), poiché il sistema possiede un numero infinito di osservabili locali conservate, non è in grado di raggiungere uno stato di equilibrio termico (il sistema è non ergodico).

I sistemi MBL sono stabili e ammettono una descrizione universale in termini delle loro quantità locali conservate. In particolare si crede che la fase MBL, in virtù della sua universalità, esista sia per fermioni che per bosoni. Nonostante l’esistenza di lavori analitici a supporto della localizzazione in sistemi bosonici, per ragioni computazionali i lavori numerici sulla MBL sono stati fatti finora solo su modelli fermionici o di spin-1/2.

Lo scopo principale di questa tesi è di presentare un primo studio della Many Body Localization in un modello di bosoni su un reticolo unidimensionale, il modello di Bose-Hubbard. Questo studio diventa particolarmente rilevante poiché i sistemi sperimentali ad alta controllabilità (gas ultrafreddi di bosoni in presenza di un reticolo ottico), in cui è possibile l’osservazione della localizzazione a molti corpi, sono descritti da questo
modello.

La tesi è suddivisa in tre parti.

Nella prima parte introduciamo il problema della Many Body Localization e ne descriviamo le proprietà.

Nella seconda parte introduciamo e giustifichiamo il modello in cui abbiamo deciso di studiare la MBL, descriviamo il metodo numerico utilizzato e ne presentiamo i risultati, che confermano l’esistenza di una transizione MBLD per il modello.

In fine nella terza parte presentiamo uno studio numerico quantitativo della transizione MBLD ottenuto utilizzando un’analisi di finite size scaling applicata all’entropia di bipartizione del sistema.

I risultati originali contenuti in questo lavoro di tesi sono contenuti nel Capitolo 3