• dinamica olomorfa
• geometria algebrica

Il problema affrontato in questa tesi è lo studio della dinamica locale nei punti superattrattivi di $\mathbb{C}^2$.

Lo scopo principale nello studio della dinamica locale, è trovare una classificazione (formale, analitica, topologica) della dinamica, a meno di coniugio (tramite bigezioni formali, biolomorfismi, omeomorfismi).

Riguardo ai punti superattrattivi, questo problema in dimensione $1$ è completamente risolto: il teorema di B\"ottcher ci dice che, se scriviamo in serie di Taylor $f(z)=a z^r + o(z^r)$, con $a \neq 0$, allora $f$ è coniugata (formalmente, olomorficamente e topologicamente) a $z \mapsto z^r$. Grazie al coniugio si può anche costruire un potenziale $G:U \rightarrow [0, \infty)$, definito su un intorno $U$ del punto fisso, in modo tale che $G(f(z))=r G(z)$.

In dimensione maggiore invece il problema è ancora aperto.
Una possibile strategia per studiare la dinamica locale è il cercare di semplificare la dinamica di $f$, a meno di complicare lo spazio ambiente; per farlo, si cercano delle opportune modificazioni (ovvero composizioni di scoppiamenti di punti sull'origine), in modo tale da sollevare $f$ ad una $\hat{f}$ con certe proprietà.

In questa tesi mostreremo un risultato di questo tipo, proposto da Charles Favre e Mattias Jonsson: nel caso di germi superattrattivi si può trovare una modificazione che renda $\hat{f}$ rigido (ovvero tale che l'insieme critico per $\hat{f}$ sia contenuto in un insieme totalmente invariante ad incroci normali).
Chiameremo questo processo la rigidificazione di $f$.

Dei germi rigidi si conosce la classificazione formale e olomorfa (vedi \cite{germirigidi}), grazie alla quale possiamo ridurci a studiare il problema di partenza studiando le forme normali dei germi rigidi, oltre al processo di rigidificazione.

Per studiare le modificazioni, si cerca di dedurre relazioni algebriche a partire dalla loro geometria: associamo ad ogni componente eccezionale di una modificazione una valutazione (divisoriale), concentrandoci poi su queste ultime.

Si considera allora, per motivi di completezza, l'insieme $\mathcal{V}$ di tutte le valutazioni (che per noi saranno nell'anello locale $R$ delle serie formali in due variabili, e a valori in $[0, \infty]$) centrate e normalizzate, mostrando che $\mathcal{V}$ ammette una struttura naturale di $\mathbb{R}$-albero completo.

Successivamente focalizziamo la nostra attenzione su $f_\bullet$ l'azione indotta da $f$ sull'albero delle valutazioni, in modo tale da ricavarne informazioni sulla dinamica di $f$: sfruttando la struttura ad albero, dimostriamo l'esistenza di una valutazione $\nu_\star$ mantenuta fissa da $f_\bullet$ (detta autovalutazione), mentre sfruttando le peculiarità delle valutazioni e della loro interpretazione geometrica, mostriamo come associare ad una autovalutazione un bacino di attrazione per $f_\bullet$.
Giocando sulla grandezza di questo bacino di attrazione, possiamo controllare l'insieme critico di $\hat{f}$, così da trovare una modificazione che renda $\hat{f}$ rigido.

Risulterà molto utile per lo studio della dinamica allora il coefficiente di attrazione asintotoco: se $f=(f_1,f_2)$, si considera il coefficiente d'attrazione $c(f)=\min\{m(f_1), m(f_2)\}$, dove $m(f_i)$ è il più piccolo grado che compare nell'espansione in serie di Taylor nell'origine di $f_i$.
In dimensione maggiore o uguale a $2$, si ha che in generale $c(f \circ g) \neq c(f) c(g)$: si arriva così al coefficiente d'attrazione asintotico $c_\infty(f)=\lim \sqrt[n]{c(f^n)}$.

Quello che allora si ottiene come corollario della rigidificazione, è che il coefficiente d'attrazione asintotico è in realtà un intero quadratico.

L'esposizione è divisa in sei capitoli: nel primo, dopo un breve elenco dei preliminari necessari, ci si focalizza su valutazioni e scoppiamenti, mostrando quale sarà poi l'interpretazione geometrica di ogni tipo di valutazione.

Il secondo capitolo è interamente dedicato alla classificazione delle valutazioni, permessa dall'introduzione delle successioni di polinomi chiave, che permettono di codificare efficientemente una valutazione, una volta fissate delle coordinate locali.

Il terzo capitolo è invece dedicato alle varie strutture d'albero presenti nel resto della tesi, e allo studio della naturale struttura ad albero che ammette l'insieme delle valutazioni.

Nel quarto capitolo invece si indaga sul significato geometrico delle valutazioni, e del loro collegamento con le modificazioni: questo sarà permesso dall'introduzione delle successioni di punti infinitamente singolari.

Nel quinto capitolo cominciamo invece a studiare l'azione $f_\bullet$ sull'albero delle valutazioni, mostrando che mantiene il tipo di valutazione (fatta eccezione per le valutazioni di curve contratte da $f$), e che è regolare come mappa d'albero.

Infine, nel sesto capitolo, si studiano autovalutazioni e bacini d'attrazione, ricavando il teorema di rigidificazione ed accennando ad alcune applicazioni.