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La quantizzazione della gravità è un problema che persiste da lungo tempo. La teoria formulata da Einstein, agli inizi del secolo scorso, risulta essere non rinormalizzabile. Questa è una proprietà che hanno invece le teorie di campo che descrivono le altre tre interazioni fondamentali della natura, cioè quella elettromagnetica, nucleare forte e nucleare debole. La non rinormalizzabilità dell’azione di Einstein-Hilbert rende la teoria quantistica non predittiva. Infatti, per cancellare le divergenze che appaiono nel calcolo delle ampiezze di scattering, bisognerebbe aggiungere all'azione un numero infinito di controtermini ognuno dei quali con una nuova costante di accoppiamento indipendente dalle altre. Quindi si dovrebbero fare infiniti esperimenti per misurare altrettante infinite costanti di accoppiamento, il che è ovviamente impossibile. Un modo per risolvere il problema della rinormalizzazione è considerare una teoria della gravità con derivate superiori, cioè l’azione da cui si parte per effettuare la quantizzazione contiene termini polinomiali nel tensore di Riemann, di Ricci e nella curvatura scalare oltre al termine della teoria di Einstein lineare nella curvatura scalare. La quantizzazione di teorie alle derivate superiori nonostante risolve il problema della rinormalizzabilità, comporta un altro problema altrettanto importante e cioè la non unitarietà. In passato sono stati proposti dei particolari modelli di teorie di campo alle derivate superiori, detti modelli di Lee-Wick, che avevano la pretesa di riconciliare la rinormalizzabilità con l'unitarietà perturbativa. Tuttavia la formulazione di tali teorie risultava fino a poco fa incompleta poichè necessitava di introdurre prescrizioni ad hoc per effettuare i calcoli dei diagrammi a loop e nei casi più complicati si ottenevano risultati ambigui. Anselmi e Piva hanno riformulato tali modelli definendoli prima nello spazio euclideo e facendo successivamente una opportuna rotazione di Wick non analitica per definire il valore dell’ampiezza nello spazio di Minkowski. Risulta che l’ampiezza è invariante di Lorentz ed è analitica in zone disconnesse dello spazio complesso delle energie esterne. A questo punto Anselmi ha introdotto il concetto di grado di libertà fake, detto anche fakeon, che si basa su una nuova prescrizione, alternativa a quella di Feynman, per quantizzare un campo quantistico.
Tale idea discende dalla nuova formulazione dei modelli di Lee-Wick e consente di risolvere il problema dell’unitarietà anche nelle teorie della gravità quantistica alle derivate superiori. La teoria della gravità alle derivate superiori che si usa è quella contenente R , Ric^2 , R^2 in quanto è l’unica ad avere una costante di accoppiamento adimensionale. Lo spettro di questa teoria contiene una particella di spin 2 a massa nulla ( il gravitone), una particella di spin 2 massiva ed una particella di spin 0 massiva. Lo spin 2 massivo ha il termine cinetico con segno sbagliato quindi se quantizzato con la prescrizione di Feynman violerebbe il teorema ottico e quindi la teoria non sarebbe unitaria. Per garantire l’unitarietà è quindi necessario quantizzare tale campo come fakeon. Si ottengono così due teorie diverse a seconda che il campo scalare massivo sia quantizzato nella maniera standard ( GSF: graviton, scalar, fake ) o come fakeon (GFF: graviton, fake, fake). Non esistono principi teorici che ci permettano di scegliere la prima o la seconda possibilità, quindi bisogna discuterne la fenomenologia. In questo lavoro abbiamo visto che se lo scalare massivo è quantizzato come fake e si aggiunge un altro campo scalare per descrivere l'inflazione, allora accade che la durata del periodo inflazionario in cui la costante di Hubble è indipendente dal tempo aumenta considerevolmente rispetto al caso della teoria di Einstein con il solo inflatone. Sembra quindi che il fake tenda a mantenere invariato il valore della costante di Hubble durante tutta la durata dell’inflazione. Poichè vogliamo che l’inflazione ad un certo punto termini, cioè che la costante di Hubble decresca nel tempo, allora abbiamo scartato la teoria GFF.
D’ora in poi abbiamo quindi usato solo la teoria GSF e studiato le fluttuazioni della metrica intorno al background di FLRW. Abbiamo considerato sia le fluttuazioni scalari che tensoriali che vettoriali. Le equazioni del moto delle fluttuazioni, essendo alle derivate temporali superiori ( dette anche equazioni non proiettate: ENP ), contengono più gradi di libertà tra i quali bisognerebbe identificare i due fisici e scartare i due fake. Questa operazione prende il nome di proiezione fake che non sempre sarà possibile effettuare poichè in generale richiede la conoscenza del settore non perturbativo della gravità quantistica. Se le soluzioni delle equazioni alle derivate superiori hanno alcune proprietà risulta che queste sopravvivono alla proiezione fake. Nel caso delle fluttuazioni scalari abbiamo dimostrato che le ENP ammettono soluzioni adiabatiche nel limite infrarosso cioè quando l’impulso delle fluttuazioni di interesse k è molto minore di aH dove a è il parametro di scala mentre H è la costante di Hubble. Sempre in tale limite ne abbiamo discusso l’evoluzione temporale durante i periodi dell’universo dominati dall’inflazione, dalla radiazione e dalla materia non relativistica. Nel primo caso è stato possibile effettuare la proiezione fake ed ottenere la stessa soluzione della teoria di Einstein. Nei restanti due casi, non potendo effettuare la proiezione fake, è stato analizzato l’intero spazio delle soluzioni delle ENP dato da una combinazione lineare di tre soluzioni omogenee più una particolare. Inoltre sono stati discussi alcuni vincoli sui coefficienti delle soluzioni omogenee e si è verificato infine che le soluzioni delle ENP contengono le soluzioni della relatività generale per tempi molto maggiori dell'inverso della massa del fakeon di spin 2. Per quanto riguarda le fluttuazioni tensoriali è stato dimostrato che, anche per la teoria GSF, queste diventano costanti nel limite infrarosso prima descritto così come accade nella teoria di Einstein. Inoltre anche per impulsi generici e durante il periodo inflazionario è stato possibile effettuare la proiezione fake delle ENP e si è ottenuto ancora una volta lo stesso risultato della teoria di Einstein. In ultima analisi abbiamo studiato le fluttuazioni vettoriali e siamo riusciti ad effettuare la proiezione fake ottenendo lo stesso risultato della teoria standard.
In futuro sarebbe utile studiare come cambiano l’indice spettrale scalare ed il tensor to scalar ratio nella teoria GSF. Tuttavia per trovare delle correzioni non perturbative di questi parametri sarebbe necessario conoscere la soluzione proiettata sia delle fluttuazioni scalari che di quelle tensoriali. Come abbiamo visto, il problema maggiore deriva dalle fluttuazioni scalari per le quali non si sa, allo stato attuale, effettuare la proiezione fake.