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In questa tesi viene proposta una metodologia per rendere più efficiente e di più generale applicabilità l’uso della simulazione Monte Carlo per il calcolo delle Greche di opzioni. Tale metodologia prende il nome di calcolo di Malliavin, dal matematico francese che l’ha proposta nel 1976, e consiste essenzialmente in un calcolo delle variazioni stocastico.

Nella pratica finanziaria le Greche indicano delle misure di sensibilità del prezzo delle opzioni rispetto ad alcune variabili: da un punto di vista matematico sono delle derivate. Più precisamente, sfruttando il principio della valutazione neutrale al rischio, la determinazione delle Greche richiede di calcolare la derivata del valore atteso del payoff a scadenza, attualizzato al tasso privo di rischio, rispetto ad una delle variabili in gioco (e.g. prezzo del sottostante, volatilità...).

Il calcolo di queste derivate presenta una duplice difficoltà: in primo luogo si tratta di effettuare delle derivate di funzioni stocastiche rispetto alle traiettorie del moto Browniano (che ha traiettorie ovunque continue ma non derivabili), in secondo luogo molte funzioni di payoff sono discontinue (e.g. le opzioni di tipo “digital”).

Il calcolo di Malliavin, tramite una formula di integrazione per parti, permette di superare entrambe queste difficoltà, e di rappresentare tutte le Greche con una struttura comune che risulta molto efficiente per l’implementazione della simulazione Monte Carlo. Nella tesi questo metodo viene confrontato con il metodo Monte Carlo alle differenze finite e risulta dare buoni risultati in particolare nel caso di funzioni dei payoff discontinue.