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Il teorema del sottospazio di W. Schmidt è un importante teorema di approssimazione diofantea comparso per la prima volta nel 1972 come generalizzazione multidimensionale del teorema di Roth, per trattare problemi legati alle equazioni diofantee esponenziali ed alle norm form equations.

Il teorema di Schmidt afferma che i vettori di $\Z^n$ che sono ``troppo vicini'' ad $n$ sottospazi fissati di $\bar{\Q}^n$ devono necessariamente appartenere ad un certo insieme finito di sottospazi propri di $\Q^n$; essere ``troppo vicini'' è misurato raffrontando il prodotto delle distanze dai sottospazi col massimo del modulo delle coordinate del vettore stesso.

Negli anni successivi il teorema del sottospazio è stato generalizzato da Schlickewei considerando anche valori assoluti non archimedei e campi di numeri diversi da $\Q$, in analogia con le generalizzazioni del teorema di Roth date da Ridout e Lang.

Recentemente il teorema del sottospazio è stato applicato in modo ingegnoso ed inaspettato fornendo spesso soluzioni semplici e rapide a svariati problemi altrimenti formidabili; in questa sede siamo interessati al lavoro sui punti interi su curve e superfici svolto tra il 2002 e il 2003 da Corvaja e Zannier.

Nel caso delle curve il problema di determinare la finitezza o meno dell'insieme dei punti interi fu risolto da Siegel con un teorema poi esteso da Mahler per comprendere anche i punti S-interi; il teorema di Siegel nella versione più moderna afferma che se una curva affine irriducibile possiede infiniti punti interi, allora essa ha genere 0 e non più di due punti all'infinito.

La dimostrazione di questo teorema che si trova nella maggior parte dei testi moderni è una semplificazione (adoperando il teorema di Roth, dimostrato nel 1955) di quella originale fornita da Siegel nel 1929 e si basa sulle proprietà della varietà Jacobiana di una curva.

La dimostrazione del teorema di Siegel data da Corvaja e Zannier, oltre ad essere concettualmente più semplice, evitando grazie al teorema del sottospazio l'uso del teorema di Roth o delle Jacobiane permette di ottenere limitazioni esplicite per il numero di punti interi (utilizzando una versione quantitativa del teorema del sottospazio data da Evertse) e si presta ad essere generalizzata a varietà di dimensione superiore.

La dimostrazione ``tradizionale'' del teorema di Siegel passa per un risultato più forte, che possiamo riassumere affermando che in una successione di punti razionali su una curva di genere maggiore di 0 il rapporto tra il numero di cifre del numeratore e del denominatore tende ad 1; questo implica la finitezza non solo dei punti interi, ma di tutti i punti razionali con denominatore ``piccolo'', cioè limitato da una potenza fissata (minore di 1) del numeratore.

Lo scopo di questa tesi è, seguendo la strategia di Corvaja e Zannier, dimostrare questa proposizione adoperando il teorema del sottospazio.

Nel primo e secondo capitolo di questa tesi riporteremo i necessari preliminari di teoria dei numeri e di geometria algebrica per poter definire del terzo capitolo l'altezza di un punto dello spazio proiettivo; questa nozione della complessità aritmetica di un punto è estremamente conveniente per lo studio dei punti interi ed è necessaria per la formulazione del teorema del sottospazio.

Nel quarto capitolo presenteremo diverse versioni del teorema del sottospazio, mostrandone i collegamenti con uno dei teoremi centrali dell'approssimazione diofantea: il teorema di Roth.

Il quinto capitolo contiene il teorema di Siegel sui punti S-interi, la proposizione che ci proponiamo di dimostrare e la nostra dimostrazione che fa uso del teorema del sottospazio.

In appendice abbiamo raccolto alcuni risultati di topologia a cui ci riferiremo durante la nostra dimostrazione.