• decomposizioni open-book
• superfici di Giroux
• rivestimenti ramificati

L'argomento di questa tesi sono le decomposizioni open-book di 3-variet\acg{a}. L'idea intuitiva è che ogni 3-varietà chiusa e connessa M può essere vista come un libro aperto la cui costola è un link K e la cui pagina è una superficie S embedded in M.
Formalmente, data una varietà chiusa e connessa di dimensione tre; una decomposizione open-book per M consiste in una 1-varietà B contenuta in M detta rilegatura o costola con una banalizzazione del fibrato normale B x D^2 e in un fibrato p da M-B in S^1 tale che p|(Bx(D^2-{0})) mandi (x,z) in z/|z|. La fibra F_z= p^-1(z) è detta pagina o foglia della decomposizione, e la sua chiusura è una sottovarietà di M con bordo B per ogni z.
Il primo scopo di questa tesi è quello di illustrare una dimostrazione dell'esistenza di decomposizioni open book per ogni 3-varietà connessa e chiusa.
A tal fine nel capitolo 1 introdurremo la definizione di rivestimento ramificato e ne studieremo alcune proprietà fondamentali, ci concentreremo soprattutto sui rivestimenti ramificati in dimensione 2 che serviranno da “mattoni“ per la costruzione di rivestimenti ramificati tra 3-varietà.
Nel secondo capitolo dimostreremo l'esistenza di decomposizioni open-book, tratteremo separatamente il caso in cui le varietà sono orientabili e il caso in cui non lo sono. Alla fine del secondo capitolo definiremo un'operazione di “stabilizzazione” sulle decomposizioni open-book e dimostreremo che ogni 3-varietà (sempre connessa e chiusa) possiede una decomposizione open-book con costola connessa.
La parte riguardante i rivestimenti ramificati e l'esistenza di decomposizioni open book è tratta principalmente da un articolo di Israel Berstein e Allan L. Edmonds del 1979.
Nel terzo capitolo dimostreremo in modo più costruttivo l'esistenza di decomposizioni open-book. Costruiremo cioè una decomposizione open book per una 3-varietà M a partire da una funzione di Morse definita su M. Basandoci su alcuni risultati di E. Giroux del 1991 assoceremo, quando è possibile, a una funzione di Morse f una superficie che chiameremo superficie di Giroux; non è detto che ogni funzione di Morse possieda una superficie di Giroux, ma si dimostra che su ogni 3-varietà connessa e chiusa è possibile definire una funzione di Morse che possiede una superficie di Giroux trasversalmente orientabile. Basandoci su un articolo di F. Laudenback e G. Meigniez del 2009 dimostreremo poi che una superficie di Giroux trasversalmente orientabile è l'unione di due pagine di una decomposizione open book.
Nel quarto capitolo studieremo le relazioni tra decomposizioni di Heegaard e decomposizioni open-book. Definiremo poi il genere open book di una varietà come il minimo genere di una decomposizione di Heegaard associata a una decomposizione open-book. Ci si convince facilmente che il genere open-book di una varietà è minore o uguale del suo genere di Heegaard. Mostreremo quali sono le varietà di genere open book 1 e mostreremo almeno un diagramma di Heegaard per ogni varietà che ha genere open book 2.