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Il problema della localizzazione di un elettrone in un reticolo disordinato `e stato oggetto di continua
ricerca a partire dal lavoro fondamentale di P.W. Anderson, del 1958. Il modello introdotto da
Anderson consisteva nel considerare atomi disposti sui siti di un reticolo regolare, con interazioni
costanti a primi vicini. Il disordine veniva poi inserito considerando i livelli di energia in ciascun sito
reticolare come variabili stocastiche indipendenti (disordine diagonale), uniformentente distribuite in
un certo range di energia W.
Il problema della localizzazione con interazioni random tra primi vicini (disordine fuori diagonale)
era gi`a stato introdotto da F.Dyson nel 1950 in un modello per lo studio dei fononi. In sistemi
modello strettamente unidimensionali, gli unici per i quali esistono formulazioni matematiche rigorose,
è stato verificato che il disordine fuori diagonale può indurre comportamenti anomali, rispetto a quello
diagonale, sia nella densità degli stati che nelle proprietà di localizzazione, nelle vicinanze del centro
dello spettro di energia.
Di recente, il problema della localizzazione degli stati elettronici, in sistemi quasi-unidimensionali ha
avuto un enorme interesse nello studio teorico e sperimentale di fili quantistici disordinati, di profilo
arbitrario, perchè ad essi si pu`o ricondurre la descrizione di una vasta categoria di sistemi mesoscopici
rappresentabili con catene multiple interagenti.
In particolare, un caso speciale di disordine fuori diagonale è legato alla rottura della simmetria
per inversione temporale, come capita, ad esempio, nel caso di hamiltoniane di sistemi elettronici
in presenza di campi magnetici (random-flux model). Questo problema, largamente studiato nella
letteratura recente, non ha portato ancora ad un consenso definitivo sulle propriet`a di localizzazione
degli stati e sulle caratteristiche dello spettro al variare del numero di catene che formano il sistema
(even-odd problem).
Nel lavoro di tesi ho studiato la conduttanza e le proprietà degli stati, con particolare riguardo al
centro dello spettro di energia, di sistemi descrivibili con vari tipi di catene interagenti alle quali è stato
aggiunto del disordine sia diagonale, che fuori diagonale. Ho utilizzato un programma specifico scritto
in Fortran basato sul formalismo di Keldysh. Ho trovato un’espressione analitica per la funzione
di Green di una multicatena seminfinita perfetta, che è un ingrediente importante per il metodo
di Keldysh. Grazie alla velocità di tale codice ho potuto investigare con accuratezza la legge di
decrescita della conduttanza, e le relative lunghezze caratteristiche, in funzione del tipo del disordine,
dell’estensione del disordine, del numero di catene e del tipo di accoppiamento fra di esse. Ho inoltre
studiato le densità degli stati in sistemi larghi (costituiti da centinaia di catene) trovando forme
caratteristiche per particolari tipi di accoppiamento.
Ho preparato, poi, una serie di codici basati sulla matrice di scattering in modo da confrontare questo
metodo con la procedura di Keldysh e in modo da ottenere informazioni sulle ampiezze di transizione
fra gli stati coinvolti, ad una data energia, nel calcolo della conduttanza g(E).
Il formalismo messo a punto nella tesi ha consentito di fornire un’interpretazione teorica al peculiare
comportamento della conduttanza e della densità degli stati al centro dello spettro dell’energia, che è
un argomento sul quale esiste un dibattito in letteratura.
Le procedure teoriche e numeriche implementate in questo lavoro sono completamente generali e
possono essere utilizzate nello studio di fili quantistici di arbitrarie forme e tipi di disordine.