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Tesi etd-09122005-105526


Thesis type
Tesi di laurea vecchio ordinamento
Author
Guerrini, Eleonora
URN
etd-09122005-105526
Title
Distanza e ottimalità in codici non lineari
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Sala, Massimiliano
relatore Traverso, Carlo
Parole chiave
  • teoria dei codici correttori
  • codici sistematici
  • ideali di polinomi
  • basi di Groebner
Data inizio appello
28/09/2005;
Consultabilità
parziale
Data di rilascio
28/09/2045
Riassunto analitico
In questa tesi affrontiamo lo studio dei codici ottimali <br> nella famiglia dei codici non lineari<br>sistematici binari.<br>Dopo una descrizione delle famiglie note di codici non lineari<br>(capitolo 2), nel capitolo 3 abbiamo catalogato i codici non<br>lineari sistematici binari, riorganizzandoli in classi che<br>evidenziassero le proprietà di tali codici in base alla distanza.<br><br>Da questo primo approccio è nata l&#39;idea di studiare i codici da un<br>punto di vista dell&#39;algebra commutativa: vedendo ogni codice come una<br>varietà di punti a coordinate binarie, abbiamo descritto le proprietà<br>della base di Groebner minimale ridotta dell&#39;ideale di annullamento di tale<br>codice ed indagato il rapporto tra tale base e la distanza.<br> <br>In particolare è emerso che la base di Groebner di tali codici ha una<br>struttura alquanto semplice completamente determinata dalla parte non<br>sistematica del codice. Come risultato preliminare quindi, abbiamo<br>derivato un metodo algebrico per il calcolo della distanza di un<br>codice binario sistematico. Il calcolo della distanza si riduce in<br>questo modo al calcolo della varietà di un ideale di polinomi<br>costruito a partire dalla base di Groebner.<br> Lo studio tra base di Groebner e codice corrispondente è alla base di tutti<br>i risultati di questa tesi. In particolare il fatto che un codice<br>sistematico è completamente determinato dai coefficienti dei polinomi<br>della sua base minimale ridotta che compaiono nella parte non<br>sistematica.<br>Il risultato principale di questa tesi è la<br>caratterizzazione di tali coefficienti in alcuni casi particolari<br>di codici ottimali.<br><br>Il metodo da noi implementato permette di trovare i codici ottimali di<br>parametri dati, imponendo condizioni sui coefficienti della parte non<br>sistematica della base di GR. Si costruisce un ideale di polinomi<br>opportuno: ogni punto della varietà di questo ideale rappresenta un<br>codice ottimale con i parametri fissati. <br>L&#39;applicabilità di questo metodo dipende in modo sensibile dai parametri<br>del codice, tuttavia nel caso precedentemente analizzato (lunghezza 6 e<br>parte sistematica lunga 3) si ottengono velocemente tutti i codici<br>ottimali. <br>In particolare, abbiamo ottenuto che questi codici ottimali sono lineari(a meno di equivalenza). <br>Presentiamo infine la caratterizzazione dei codici ottimali<br>nel caso di parte sistematica $k$ e lunghezza $k+1$, $k+2$ e $k+3$ e la caratterizzazione dei codici MDS lineari binari, ai codici non lineari<br>sistematici binari.
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