• basi di Groebner
• codici sistematici
• ideali di polinomi
• teoria dei codici correttori

In questa tesi affrontiamo lo studio dei codici ottimali
nella famiglia dei codici non lineari
sistematici binari.
Dopo una descrizione delle famiglie note di codici non lineari
(capitolo 2), nel capitolo 3 abbiamo catalogato i codici non
lineari sistematici binari, riorganizzandoli in classi che
evidenziassero le proprietà di tali codici in base alla distanza.

Da questo primo approccio è nata l'idea di studiare i codici da un
punto di vista dell'algebra commutativa: vedendo ogni codice come una
varietà di punti a coordinate binarie, abbiamo descritto le proprietà
della base di Groebner minimale ridotta dell'ideale di annullamento di tale
codice ed indagato il rapporto tra tale base e la distanza.

In particolare è emerso che la base di Groebner di tali codici ha una
struttura alquanto semplice completamente determinata dalla parte non
sistematica del codice. Come risultato preliminare quindi, abbiamo
derivato un metodo algebrico per il calcolo della distanza di un
codice binario sistematico. Il calcolo della distanza si riduce in
questo modo al calcolo della varietà di un ideale di polinomi
costruito a partire dalla base di Groebner.
Lo studio tra base di Groebner e codice corrispondente è alla base di tutti
i risultati di questa tesi. In particolare il fatto che un codice
sistematico è completamente determinato dai coefficienti dei polinomi
della sua base minimale ridotta che compaiono nella parte non
sistematica.
Il risultato principale di questa tesi è la
caratterizzazione di tali coefficienti in alcuni casi particolari
di codici ottimali.

Il metodo da noi implementato permette di trovare i codici ottimali di
parametri dati, imponendo condizioni sui coefficienti della parte non
sistematica della base di GR. Si costruisce un ideale di polinomi
opportuno: ogni punto della varietà di questo ideale rappresenta un
codice ottimale con i parametri fissati.
L'applicabilità di questo metodo dipende in modo sensibile dai parametri
del codice, tuttavia nel caso precedentemente analizzato (lunghezza 6 e
parte sistematica lunga 3) si ottengono velocemente tutti i codici
ottimali.
In particolare, abbiamo ottenuto che questi codici ottimali sono lineari(a meno di equivalenza).
Presentiamo infine la caratterizzazione dei codici ottimali
nel caso di parte sistematica $k$ e lunghezza $k+1$, $k+2$ e $k+3$ e la caratterizzazione dei codici MDS lineari binari, ai codici non lineari
sistematici binari.