• vortici non abeliani confinamento teorie supersimm

Il problema del confinamento del colore, legato in generale al problema
della dinamica a bassa energia delle teorie di gauge non abeliane,
rappresenta sicuramente una delle sfide più difficili e importanti
della fisica teorica moderna. La complicata struttura del vuoto di
queste teorie, dominata da effetti non perturbativi, rende tutti gli
approcci formali a nostra disposizione insoddisfacenti.

Questo aspetto diventa cruciale nello studio delle interazioni forti.
In questo contesto la QCD si dimostra essere un ottimo modello. Le
informazioni dinamiche che si possono estrarre descrivono bene, a
livello perturbativo, le proprietà di libertà asintotica. Tuttavia
ancora nessuno sa quale sia il meccanismo dinamico che a basse energie
realizza il confinamento dei quarks.

Un meccanismo di confinamento di confinamento promettente è sicuramente
quello proposto da 't Hooft cite{Hooft cofinamento}. L'idea è che
il confinamento sia dovuto ad una specie di effetto Meissner {}``duale'.
Nel campo della teoria dei superconduttori l'effetto Meissner si riferisce
alla proprietà di tali materiali di espellere completamente i campi
magnetici, che possono al massimo penetrare in forma di sottili vortici
magnetici. Nel caso della QCD si ipotizza che il vuoto sia un superconduttore
duale (dobbiamo scambiare il ruolo dei gradi di libertà magnetici
ed elettrici) e che la formazione di vortici che trasportano flusso
di colore sia responsabile del confinamento dei quarks. La possibilità
di verificare concretamente tale ipotesi rimane ancora al di là delle
nostre possibilità.

L'idea descritta sopra si è rafforzata negli ultimi anni, grazie soprattutto
alla costruzione di modelli teorici in cui essa sembra realizzarsi
in modo concreto. In questi sviluppi recenti giocano un ruolo centrale
i vari difetti topologici (solitoni) di tipo non abeliano. Il lavoro
di questa tesi si inserisce in questa linea di ricerca.

Gli sviluppi di cui stiamo parlando riguardano lo studio delle teorie
di gauge supersimmetriche. Le numerose simmetrie di questi modelli,
combinate con l'idea della dualità elettromagnetica hanno permesso
Seiberg e Witten di risolvere in modo completo teorie di gauge con
supersimmetria estesa. In altre parole sono riusciti a emph{determinare
in modo esatto} la lagrangiana efficace di basse energie, in cui tutti
gli effetti quantistici, sia perturbativi che non perturbativi, sono
stati risommati cite{seiberg witten1,seiberg witten 2}. Queste soluzioni
indicano chiaramente il ruolo dei monopoli magnetici nel fenomeno
del confinamento.

Nei lavori originali di Seiberg e Witten, $(SU(2),,mathcal{N}=2)$,
i monopoli magnetici che appaiono come gradi di libertà nell'infrarosso
sono di tipo abeliano ('t Hooft-Polyakov) e il confinamento è descritto
in termini di una superconduttività duale alla 't Hooft-Mandelstam.
Tuttavia in modelli più generali, con gruppi di gauge più estesi e
maggior contenuto in campi di materia, la dinamica di basse energie
risulta essere molto più varia. In queste teorie monopoli magnetici
di tipo non abeliano possono giocare un ruolo dinamico fondamentale
cite{konishi supercon,konishi movor,konishi monopol}.

In una particolare classe di tali modelli si considerano teorie di
gauge supersimmetriche $SU(N+1)$, $mathcal{N}=2$. I parametri della
teoria possono essere scelti in modo da ottenere una classe di vuoti
in cui la simmetria di gauge viene rotta nel seguente modo:[
SU(N+1)stackrel{v_{1}}{longrightarrow}SU(N) imes U(1)/mathbb{Z}_{2}stackrel{v_{2}}{longrightarrow}0,]
con $v_{2}ll v_{1}$. In queste teorie sono presenti, alle alte energie,
monopoli non abeliani il cui flusso magnetico è confinato dai vortici
esistenti a scale di energia più piccole.

Va enfatizzata, in tutto ciò, l'importanza del contenuto di materia
e delle simmetrie di flavour della teoria. Il numero di flavour è
rilevante a livello quantistico, in quanto modifica il comportamento
infrarosso e ultravioletto delle interazioni. Inoltre, come vedremo,
la presenza di simmetrie globali può essere rilevante, direttamente
a livello semiclassico, per le proprietà dei difetti topologici. In
questo caso si parla in letteratura di {}``difetti semilocali'
cite{Vachaspati Achucharro,vachaspati achucharro 2}.

In questo lavoro di tesi abbiamo mostrato esplicitamente l'occorrenza
di caratteristiche {}``semilocali' anche nel caso dei vortici non
abeliani studiati in cite{konishi supercon,Hananay D.Tong Vortices..},
caratterizzando completamente la struttura delle soluzioni di singolo
vortice.

I risultati ottenuti sono stati un punto di partenza per affrontare
un problema più generale: lo studio di configurazioni in cui sono
presenti più vortici. E' noto, fin dai lavori originali cite{bogomolny,nielesen olesen,abrikosov},
che vortici abeliani separati non risentono di forze di interazione
nel caso noto come BPS saturato cite{BPS}, ovvero quando le masse
dei campi scalari e dei campi di gauge coincidono. In questo caso
esiste un'intero spazio di configurazioni degeneri in energia (spazio
dei moduli). La struttura di questo spazio è stata determinata completamente,
nel caso abeliano, nei lavori cite{taubes2,gibbons}.

Anche nel caso dei vortici non abeliani si presenta la possibilità
di uno studio analogo, soprattutto in considerazione del fatto che
la supersimmetria impone automaticamente saturazione BPS. Nel lavoro
cite{Hananay D.Tong Vortices..} tale spazio è stato determinato,
a livello implicito, utilizzando la teoria delle stringhe per costruire
strutture che vengono identificate come vortici non abeliani nella
la teoria di campo efficace generata a basse energie. In un altro
recente lavoro cite{tong reconnect} lo spazio dei moduli viene parzialmente
studiato nel caso di due vortici.

In questa tesi abbiamo riottenuto, e generalizzato, gli stessi risultati
rimanendo nell'ambito della teoria di campo, riproducendo la dimensione
dello spazio dei moduli e determinandone implicitamente la struttura.

La conoscenza della struttura dello spazio dei moduli per le strutture
solitoniche è molto importante, in quanto da essa si possono ricavare
molte informazioni sulle interazioni dei solitoni stessi a basse energie
cite{Manton,interazioni vortici metrica}.

Questa tesi è strutturata in tre parti. Nella prima descriviamo brevemente
varie strutture solitoniche seguendo un'impostazione tradizionale
e descrivendo i metodi topologici per la loro classificazione. Introduciamo
quindi il concetto di difetto semilocale e consideriamo un metodo
di classificazione generale che comprenda questo tipo di oggetti.

Nella seconda parte introduciamo due modelli di teorie di gauge superimmetriche,
tra i più studiati in letteratura, che contengono vortici non abeliani.
Mostriamo come costruire esplicitamente questi oggetti e ne descriviamo
le proprietà già note.

Infine la terza parte è quella relativa al lavoro originale. Descriviamo
per prima cosa come studiare in modo completo un vortice non abeliano
semilocale. Quindi introduciamo un formalismo più generale che permette
di studiare soluzioni con un numero arbitrario di vortici. Utilizziamo
quindi questo formalismo per studiare alcune caratteristiche dello
spazio dei moduli nel caso più semplice di $SU(2) imes U(1)$.

La speranza è che una conoscenza piu approfondita della struttura
dello spazio delle soluzioni per vortici non abeliani sia di interesse
concreto sia nello studio delle alte energie sia nello studio di strutture
cosmologiche.