• conduttore
• indice di inerzia
• indice di ramificazione
• monogenico
• radici dell'unita

La determinazione di una base di potenze per un anello di numeri fissato e' un problema di non facile applicazione e dalle diverse applicazioni. Infatti la presenza di un elemento che generi l'anello degli interi come Z-algebra (dove con Z indicheremo l'anello dei numeri interi razionali) permette prima di tutto di scrivere gli interi del campo di numeri in maniera semplice, snellendo in tal modo i calcoli e facilitando l'uso di certe formule, e consente ad esempio di utilizzare l'algoritmo di Kummer per lo spezzamento dei primi. E' impossibile elencare tutte le applicazioni ed i vantaggi che la monogenicità di un anello di numeri comporta, ma e` evidente che la soluzione di questo problema e` un passo avanti notevole nella descrizione della sua struttura algebrica. Inoltre, come risultera` chiaro durante lo svolgimento di questa tesi, la questione della monogenicita` e` connessa con molti altri aspetti della teoria dei numeri.
Ho cercato di strutturare questo lavoro in modo da dare un'idea dell'evoluzione degli studi sulla questione, focalizzando l'attenzione su alcuni esempi tipici ed illustrando cosi` alcune delle principali strategie che possono essere utilizzate per raggiungere dei risultati. L'assenza di algoritmi e criteri di validita` generale che permettano di decidere con facilita` quando un campo e` monogenico, mi costringeranno a suddividere l'insieme dei campi di numeri in categorie caratterizzate dal grado, dal conduttore o dal gruppo di Galois.
Dopo un primo capitolo dedicato a richiamare alcuni fatti di teoria, la tesi si incentra sulla descrizione di esempi e situazioni significative, delineando un quadro abbastanza completo e diversificato. Alcuni degli esempi decritti sono i campi ciclotomici, su cui si fonda tutto il secondo capitolo, i campi quadratici, alcuni tipi di estensioni composte, i campi ciclici di grado primo maggiore di 5. Un'attenzione particolare e` rivolta ai campi cubici, a cui e` dedicato tutto il quarto capitolo. La prima parte di questa sezione contiene i risultati dovuti a Gras sui campi cubici ciclici. La seconda, invece, e` dedicata ai campi cubici puri, sui quali ho dimostrato alcuni piccoli fatti originali che mi hanno permesso di costruire un algoritmo per decidere della monogenicita` del campo in questione. Il risultato finale sara` a parer mio ancor piu` interessante grazie al raffronto tra le tabelle riportate in quest'ultimo capitolo.