• approccio descrittivo
• approccio normativo
• consistenza interna
• equilibrio di Nash
• foundations of game theory
• logica modale
• modal logic
• previsioni
• teoria dei giochi

La teoria dei giochi nasce con lo scopo di fornire un ambiente matematico unitario per l analisi di situazioni in cui pi` u individui razionali interagiscono. I modelli utilizzati per descrivere queste situazioni sono appunto i giochi . In questa tesi ci concentreremo su due particolari classi di giochi: i giochi in forma strategica, che rappresentano situazioni in cui tutti i giocatori scelgo-no contemporaneamente la propria strategia, e i giochi in forma estesa, che aggiungono ai primi una struttura sequenziale di mosse successive dei diversi giocatori. Lo sviluppo della teoria ha portato alla definizione di numerosi concetti risolutivi, proposti a soluzione delle diverse classi di giochi. La teoria dei giochi `e di recente stata oggetto di un sempre crescente inte-resse di ricerca, grazie anche ad un adeguata sistematizzazione e a numerose applicazioni nei pi` u svariati ambiti. In questo contesto si `e reso necessario formalizzare ed analizzare in dettaglio le ipotesi ed i metodi su cui si fonda l analisi proposta dalla teoria dei giochi. La prima parte della tesi `e dedicata a presentare questi concetti: vengono definiti i giochi in forma strategica e i giochi in forma estesa, e presentati i due pi` u semplici concetti risolutivi, l equilibrio di Nash e gli equilibri perfetti nei sottogiochi. Viene posta particolare attenzione nell esporre con chiarezza le due diverse interpretazioni dei concetti risolutivi: l interpretazione descrittiva in cui si indaga sulle condizioni di razionalit` a e di conoscenza che portano all effet-tivo realizzarsi degli esiti indicati, e l interpretazione normativa, che vede il concetto risolutivo associare, ad ipotesi di razionalit` a sui giocatori, un insieme di esiti ideali del gioco. A partire dalla met` a degli anni ottanta si `e incominciato ad utilizzare strumenti di logica modale in questo ambito, ottenendo grandi semplifica-zioni nella formulazione, e nella conseguente analisi, di questi concetti che altrimenti sarebbero difficilmente formalizzabili. La logica modale `e un estensione della logica proposizionale, le cui formule sono interpretate su particolari strutture relazionali dette modelli di Kripke. Grazie alla versatilit` a di queste strutture la logica modale viene utilizzata con successo in diversi ambiti, primo fra tutti la ricerca nel campo dell intelligenza artificiale. Da un punto di vista metateorico la logica modale `e interpretabile nella logica del prim ordine, e la maggior parte delle teorie modali risultano decidibili. Scopo di questa tesi `e di avvicinarsi a questo settore della ricerca dimo-strando l espressivit` a della logica modale nell interpretazione dei pi` u semplici concetti risolutivi proposti dalla teoria dei giochi. Per quanto riguarda l interpretazione descrittiva, viene presentata in det-taglio la teoria modale S5 C n e la sua interpretazione come logica epistemica, in grado di fornire un modello per formalizzare le conoscenze dei giocatori. Viene mostrato come le formule di questa teoria possono essere interpretate sulle strutture di Aumann, che rappresentano lo strumento classico di di-mostrazione di teoremi fondazionali sotto questa interpretazione. In modo particolare viene mostrato come l'utilizzo della logica epistemica sia per-fettamente equivalente, ma molto pi` u agevole, all utilizzo delle strutture di Aumann, e permetta inoltre di tradurre i risultati dimostrati in formule di S5 C n , che `e una teoria decidibile. Nei capitoli successivi vengono esposte due teorie modali sufficientemen-te espressive da esprimere in una formula la consistenza di un concetto ri-solutivo visto come raccomandazione , che nell interpretazione normativa formalizza la nozione di esito razionale . Ad ogni gioco in forma strategica viene associato un modello di Kn, le cui formule esprimono la struttura strategica dei giochi. Il linguaggio in questo caso `e particolarmente semplice, ed `e immediato osservare l equivalenza tra la consistenza interna e la raccomandazione associata all equilibrio di Nash. Il caso dei giochi in forma estesa `e pi` u complesso: ad ogni gioco si associa un modello della teoria BTA, nel linguaggio temporale L BTA = { V ar, [G], [H], i } , sufficientemente espressivo a rappresentare la struttura sequenziale del gioco. Questo modello pu` o essere esteso, con l aggiunta di una raccomanda-zione come una seconda relazione temporale, ad un modello di BTAp, una teoria che si dimostra completa rispetto alle strutture temporali ad albero con previsione. Questi modelli sono definiti modelli normativi, ed in questo linguaggio viene espressa la nozione di consistenza interna. Ogni concetto risolutivo associa diversi modelli normativi ad ogni gioco, uno per ogni esito razionale che viene indicato. Viene dimostrato che gli unici modelli normativi soddisfacenti la formula di consistenza interna sono quel-li associati all induzione a ritroso, dove la raccomandazione consiste in un equilibrio perfetto nei sottogiochi.