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Il problema inverso di Galois è, come dice il nome, la domanda opposta
alla risposta classica data dalla teoria di Galois: invece di
associare alle estensioni normali il gruppo di automorfismi, si cerca
di costruire un'opportuna estensione di campo di modo che abbia gruppo
di Galois assegnato. Mentre per alcuni casi semplici, quali i campi
finiti, si conosce una risposta esaustiva, il caso in cui il campo
base sia $\Q$ è ancora lungi dall'essere risolto. L'approccio moderno
che studieremo per $\Q$ si avvale di tre strumenti principali: il teorema di
irriducibilità di Hilbert, il teorema di esistenza di Riemann e i
criteri di rigidità. Da questi discenderanno anche risultati in
generale più forti per $\Q^\ab$.

Il teorema di irriducibilità di Hilbert ci garantisce che dato un polinomio
a coefficienti in $\Q(x)$ irriducibile esistono infiniti valori $v \in
\Q$ per cui la specializzazione $x \mapsto v$ mantenga il
polinomio irriducibile. Se il polinomio considerato è il polinomio
minimo di un generatore di un'estensione normale, la specializzazione
lascia intatto il gruppo di Galois associato. Otterremo quindi
che la ricerca di gruppi di Galois tra le estensioni di $\Q(x)$
fornisce automaticamente gli stessi gruppi anche su $\Q$.

La proprietà di hilbertianità di $\Q$, ovvero di conservare
l'irriducibilità dei polinomi per infinite specializzazioni, si
estende facilmente alle estensioni finite; lo stesso risultato si può
ottenere, sotto opportune condizioni, su estensioni algebriche
infinite tramite il teorema di Weissauer (la cui dimostrazione
originale, facente uso di modelli non standard, è
trattata brevemente in appendice). Da quest'ultimo risultato dedurremo
l'hilbertianità di $\Q^\ab$, come pure il fatto che la ricerca di
gruppi di Galois su $k(x)$, con $k$ hilbertiano, è equivalente alla
ricerca di gruppi di Galois su $k(x_1,\hdots,x_m)$ per qualsiasi $m
\geq 2$, qualora si imponga che l'estensione $L/k(x_1,\hdots,x_m)$
soddisfi $L \cap \ok = k$.

Grazie al teorema di esistenza di Riemann classificheremo invece tutte
le estensioni di $\C(t)$; per la precisione considereremo un luogo di
ramificazione fissato $S \subset \P^1(\C)$, di cardinalità $s < \infty$, e
vedremo che il gruppo di Galois della massima estensione $\C(t)$
ramificata solo in $S$ sarà il gruppo profinito:
\begin{displaymath}
\G_s := \langle \gamma_1,\hdots,\gamma_s \mid \gamma_1\cdots\gamma_s
= e \rangle^{\text{\^{}}}
\end{displaymath}
Ricaveremo da questo la classificazione di Hurwitz: le estensioni di
$\C(t)$ con gruppo di Galois $G$ saranno in relazione biunivoca con le
possibili scelte di $s$ generatori $\sigma_1,\hdots,\sigma_s$, con
$\sigma_1 \cdots\sigma_s = e$, a meno di automorfismi di $G$. Tramite
principio di Lefschetz, che verificheremo per questo caso specifico,
otterremo una classificazione completa dei gruppi realizzabili su
$\ok(t)$ con $\ok$ sottocampo algebricamente chiuso di $\C$. Il caso
particolare che ci interesserà sarà ovviamente $\ok = \oQ$.

Tramite i criteri di rigidità ci sarà infine concesso di ridurre il
campo base per le estensioni di $\oQ(t)$, ottenendo estensioni
regolari con lo stesso gruppo di Galois su $L(t)$, con $L$ estensione
finita su $\Q$ contenuta in $\Q^\ab$. Si sfrutterano le sole proprietà
algebriche del gruppo $G$ desiderato, in particolare la rigidità, che
si ha quando esiste un unico insieme di $s$ generatori
$\sigma_1,\hdots,\sigma_s$, a meno di automorfismi interni, per il
quale vale $\sigma_1 \cdots \sigma_s = e$. Con le condizioni
aggiuntive che $G$ abbia complementare per il suo centro e che le
classi di coniugio dei generatori $\sigma_i$ siano razionali, ovvero
$C^m = C$ per ogni $m \nmid |G|$, otterremo realizzazioni su $\Q$
stesso. Vedremo come tale criterio si potrà migliorare scegliendo
opportunamente il luogo di ramificazione $S$, mentre si potrà
generalizzare per alcuni casi speciali studiando il gruppo degli
automorfismi di $\oQ(t)/\oQ$.

Analizzando i problemi più generali di immersione, ovvero dato un
omomorfismo surgettivo $H \rightarrow \Gal(L/K)$ trovare un'estensione
$F/L$ di Galois su $K$ tale per cui $H \cong \Gal(F/K)$ e la
restrizione a $L$ coincida con l'omomorfismo, vedremo come sarà
possibile realizzare gruppi complessi a partire dai loro fattori di
composizione più semplici. In particolare studieremo le realizzazioni
GAL dei gruppi, che permettono di risolvere i problemi di immersione
che hanno come kernel dell'omomorfismo il gruppo studiato. Vedremo come le
condizioni di rigidità stesse forniscono in alcuni casi delle
realizzazioni GAL.

Vedremo infine come tutte queste tecniche possono essere implementate
in via algoritmica con opportuni accorgimenti che hanno di recente
permesso la costruzione esplicita di estensioni di $\Q$ per tutti i
gruppi transitivi di ordine minore o uguale a $15$. Applicheremo anche
i criteri visti ad alcune famiglie notevoli di gruppi per i quali si
riescono a costruire terne di generatori che soddisfino la condizione
di rigidità.