• Interpretazioni

In questa tesi studiamo principalmente un risultato presente in un articolo del 1990
ad opera di David Evans, Anand Pillay e Bruno Poizat dal titolo "A Group in a Group''
(in : Algebra i Logika, No. 3, pp. 368-378). Il generale ambiente di riferimento è il
ramo della Logica Matematica chiamato Teoria dei Modelli. A partire dalla fine degli
anni '70 e dagli inizi degli anni '80 una lunga serie di lavori sono stati sviluppati
intorno ad un unico grande obiettivo: classificare le teorie e i modelli delle teorie
non troppo "complicate''. Questi lavori, originati dalle idee di S.Shelah, sono intesi
ad individuare "proprietà invarianti'' dei modelli di una teoria che permettano la
suddivisione in "categorie'' sempre più raffinate del completo apparato delle teorie
del primo ordine (i.e. teorie stabili e non stabili, all'interno delle teorie stabili
teorie equazionali e non equazionali...). Spesso queste "proprietà invarianti'' sono
state ottenute tramite generalizzazioni a contesti più ampi di proprietà algebriche.
Ad esempio nel contesto delle teorie \emph{stabili} la relazione di forking inventata
da S.Shelah assume i connotati di una relazione di "indipendenza'' tra elementi e
insiemi che generalizza le nozioni di indipendenza lineare per gli spazi vettoriali e
di indipendenza algebrica nei campi.

In questo contesto hanno un importante ruolo le cosiddette interpretazioni fra strutture
e fra teorie (trattiamo esclusivamente strutture e teorie del primo ordine). Una struttura
N è interpretabile in M se è possibile costruire in M un "sistema di coordinate'' per N.
Ad esempio il gruppo additivo dei razionali (Q,+) è interpretabile nell'anello degli interi
(Z,+,*). Una conseguenza del risultato di Evans, Pillay e Poizat è che (Q,+) non è
interpretabile in (Z,+). In generale è possibile dare una lettura in chiave di teoria di
Galois per la definibilità in una struttura M. Per fare ciò è necessario immergere M in
un'estensione elementare molto satura M'. Restringendo il nostro studio ad insiemi "piccoli''
possiamo studiare la definibilità in M' in termini del gruppo di automorfismi Aut(M').
Diciamo che un sottoinsieme definibile X è Weakly Normal se ogni successione infinita di
coniugati di X, sotto l'azione di Aut(M), a due a due distiniti, ha intersezione vuota.
Diciamo che la teoria completa T è Weakly Normal se ogni insieme definibile nel modello
saturo M' è combinazione booleana finita di insiemi definibili Weakly Normal. Ogni classe
laterale di un sottogruppo è un insieme Weakly Normal. Quindi, dal teorema di Bauer-Monk,
se H è un R-modulo su qualche anello R, Th(H) è Weakly Normal. Il teorema nell'articolo di
Evans, Pillay e Poizat al quale siamo interessati prova che i gruppi interpretabili in un
gruppo H tale che Th(H) è una teoria Weakly Normal sono solo quelli ovvi. Cioè se H è un
gruppo con Th(H) Weakly Normal e se G è interpretabile in H, allora G ha un sottogruppo K
di indice finito tale che K è isomorfo ad un quoziente A/B dove A e B sono sottogruppi
definibili di un prodotto cartesiano di H.

In questa tesi facciamo essenzialmente due cose. Studiamo a fondo la dimostrazione di
questo risultato ricostruendo, attingendo dalle varie fonti, l'apparato teorico e tecnico
necessario. Quindi specializziamo tutto al caso del gruppo additivo degli interi (Z,+). In
particolare proviamo che un gruppo G è interpretabile in (Z,+) se e solo se G ha un
sottogruppo K abeliano finitamente genererato di indice finito. Un caso interessante è
fornito dai gruppi cristallografici, cioè gruppi di simmetria di un cristallo. In questa
tesi proviamo che ogni gruppo cristallografico è interpretabile in (Z,+). Il teorema di
Evans, Pillay e Poizat ci dice che sostanzialmente oltre il caso cristallografico non
possiamo andare.