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Il vettore delle facce di una sfera simpliciale e' limitato, in ogni componente, dal vettore delle facce di un politopo ciclico corrispondente.

Per dimostrare questo teorema assoceremo a ogni complesso simpliciale un anello di Stanley-Reisner, e studieremo le proprieta' algebriche di questo anello (e della sua serie di Hilbert) in relazione all'h-vettore, all'f-vettore e alle omologie simpliciali del complesso di partenza.
La proprieta' principale che useremo nella dimostrazione e' quella di Cohen-Macaulay: daremo una definizione algebrica di questa proprieta' e ne studieremo una caratterizzazione geometrica dovuta ai teoremi di Hochster e Reisner.