• coerenza forte
• massima correlazione
• misure di rischio
• teorema di brenier
• trasporto ottimo

Il concetto di misura di rischio riveste un ruolo di grande importanza in matematica finanziaria, ed attorno ad esso è fiorita una vasta letteratura.
Nel 2001 Kusuoka ha dimostrato un importante risultato di rappresentazione integrale per la classe delle misure di rischio coerenti, invarianti in legge e comonotone.
Lo scopo della presente tesi è illustrare una recente generalizzazione, dovuta a Ekeland, Galichon ed Henry, di quel risultato al caso multivariato, quello cioè di un portafoglio con più assets a rischio, espressi in \textit{numerairés} diversi e a priori non perfetti sostituti. Nel fare ciò verrà creata una nuova assiomatizzazione, che in definitiva si mostrerà equivalente a quella classica, ma per certi versi più naturale.
Si farà altresì mostra del profondo legame che esiste fra la teoria delle misure di rischio e la teoria del trasporto ottimo, una delle branche della matematica moderna che maggior sviluppo ha avuto in tempi recenti.


Nel primo capitolo ci dedicheremo all'illustrazione di una serie di risultati preliminari: faremo una panoramica sulla teoria delle misure di rischio, con l'esempio significativo della Value at Risk, ricorderemo alcuni risultati di analisi convessa ed enunceremo il Teorema di Kusuoka.

Nel secondo capitolo ci dedicheremo alla teoria del trasporto ottimo, dandone il setting di base e sviluppando la teoria in direzione dei risultati necessari allo sviluppo successivo del lavoro: il Teorema di Brenier e la dualità di Kantorovich.

Il terzo capitolo partirà dall'osservazione che un agente economico è soggetto ad un rischio intrinsecamente multivariato, per portarci a modellizare una nuova classe di misure di rischio tramite il concetto di coerenza forte. Definiremo di seguito la classe delle misure di rischio di correlazione massima e dimostreremo uno dei risultati fondamentali della tesi: una misura di rischio è fortemente coerente se e solo se è di correlazione massima.

Il quarto capitolo sarà dedicato alla generalizzazione del teorema di Kusuoka. L'idea centrale sarà quella di estendere al caso multivariato la nozione di comonotonia: in dimensione maggiore di uno tale proprietà non è più indipendente dalla misura di base mu; mostreremo anzi che la mu-comonotonia implica la nu-comonotonia se e solo se le due misure sono legate da una trasformazione di scala.

Nel quinto capitolo ci dedicheremo alla computazione esplicita della misura di massima correlazione nei casi di rischio gaussiano e rischio discreto, ancora una volta tramite l'ausilio di strumenti di trasporto ottimo.