• elastica functional
• mean curvature
• Modica-Mortola functional
• relaxation
• semicontinuity
• varifolds
• Willmore functional

Il p-funzionale di Willmore valutato su una ipersuperficie S in R^d è definito come l’integrale del modulo della curvatura media di S elevato alla p, rispetto alla misura di Hausdorff (d-1)-dimensionale in R^d. Lo scopo di questa tesi è quello di confrontare alcuni dei risultati presenti in letteratura relativi alle proprietà di semicontinuità di certi funzionali correlati al funzionale di Willmore. In particolare seguendo un articolo di G. Bellettini, G. Dal Maso e M. Paolini del 1993 vedremo che il p-funzionale elastica in R^2 è semicontinuo inferiormente rispetto alla convergenza L^1 di insiemi regolari per ogni p>1, dove il p-funzionale elastica di un sottoinsieme E del piano, aperto, limitato e con frontiera regolare è definito come la lunghezza del bordo di E sommata al p-funzionale di Willmore del bordo di E. Una generalizzazione del teorema di semicontinuità precedente per l’equivalente del p-funzionale elastica in R^d è stata ottenuta da L. Ambrosio e S. Masnou nel 2003 in cui hanno mostrato che vale la stessa conclusione sotto l’ipotesi p>d-1.
Per quanto riguarda il caso p minore o uguale di d-1 vedremo, seguendo un articolo di K. Deckelnick, H.-Ch. Grunau e M. Röger del 2017, che per p=2 e d=3 il funzionale di Willmore ristretto alle superfici ottenibili come grafici di funzioni è semicontinuo inferiormente rispetto alla convergenza L^1 di funzioni regolari.