• complesso delle curve
• geometria iperbolica
• Gromov-iperbolicita'
• topologia dimensione bassa

Nel 1978, nel contesto della geometria degli spazi di Teichm\"uller, Harvey introduce il complesso delle curve di una superficie puntata $(\Sigma,\Pi)$. Sono identificati dei dischi \emph{banali} in $\Sigma$: dischi ``embedded'', ciascuno dei quali contiene al pi\`u un elemento di $\Pi$. Sono dette \emph{essenziali} le curve semplici chiuse che non sono bordo di tali dischi; ciascuna di esse, a meno di omotopia libera su $\Sigma \setminus \Pi$, costituisce un vertice per il complesso delle curve $\mathscr{T}(\Sigma,\Pi)$. Tale oggetto \`e un complesso simpliciale in cui un numero finito di vertici genera un simplesso se e solo se esistono realizzazioni disgiunte delle curve che li definiscono. Lo spazio $\mathscr{T}(\Sigma,\Pi)$ \`e metrizzabile: su di esso \`e possibile porre una distanza $d$ tale per cui tutti i lati abbiano lunghezza unitaria ed esso risulti uno spazio di lunghezze.

Il presente lavoro di tesi sviluppa il problema della Gromov-iperbolicit\`a del complesso delle curve. In un articolo del 1999 Howard A. Masur e Yair M. Minsky hanno mostrato che, fatta eccezione per un numero finito di casi, il complesso delle curve $(\mathscr{T}(\Sigma,\Pi),d)$ \`e uno spazio Gromov-iperbolico. Nel 2006 Brian Bowditch pubblica una diversa dimostrazione dello stesso teorema, utilizzando tecniche esclusivamente combinatorie. Questa tesi ripercorre la dimostrazione di tale teorema secondo la linea gi\`a esposta da Bowditch.

Complessivamente l'elaborato si divide in cinque capitoli.
Nel primo capitolo si richiamano le definizioni di base della geometria di larga scala su spazi metrici, si presenta la definizione di Gromov-iperbolicit\`a e si illustrano alcune propriet\`a geometriche da essa implicate (in particolare, l'esistenza di un \emph{sistema di centri e linee}).
Il secondo capitolo illustra diversi criteri di Gromov-iperbolicit\`a. Particolare risalto \`e dato ai criteri di disuguaglianze isoperimetriche ed al criterio di esistenza di linee e centri. Si mostra che, definita un'opportuna nozione di \emph{bound isoperimetrico}, uno spazio che soddisfi un bound isoperimetrico subquadratico \`e Gromov-iperbolico; da tale teorema si deduce che uno spazio che ammette un sistema di linee e centri \`e Gromov-iperbolico.
Nel terzo capitolo vengono presentati il complesso delle curve e le sue prime propriet\`a. Si presentano i casi eccezionali; si mostra come in tutti gli altri casi il complesso sia connesso per archi ed abbia dimensione finita (dipendente solo dal genere della superficie e dal numero delle punture). \`E definito il numero di intersezione fra due vertici ed \`e introdotto l'1-scheletro del complesso, il cosiddetto \emph{grafo delle curve}. Il capitolo si conclude presentando una relazione numerica fra la distanza di due vertici sul complesso ed il loro rispettivo numero di intersezione. \\
Il quarto capitolo \`e interamente dedicato alle superfici. Ivi si introducono le nozioni di superficie euclidea a singolarit\`a coniche, di lunghezze di curve su superfici singolari; \`e presentata una classe di curve \emph{efficienti} e si illustrano risultati di esistenza di anelli ``embedded'' di data ampiezza. Si illustra come, partendo da una superficie topologica puntata $(\Sigma, \Pi)$ e da un \emph{riferimento combinatorio} $\{\alpha,\beta\}$ su di essa, si possa costruire una superficie $S(\alpha,\beta)$ euclidea a singolarit\`a coniche. Le propriet\`a di tale superficie permettono di legare fra loro questioni combinatorie sul complesso delle curve e i risultati esposti sulle superfici euclidee a singolarit\`a coniche.
Nell'ultimo capitolo si espone la dimostrazione del teorema di iperbolicit\`a del complesso. Tale problema \`e ricondotto a quello dell'iperbolicit\`a del solo grafo; nella dimostrazione si d\`a esplicita costruzione di un sistema di linee e centri, utilizzando i risultati combinatori trovati nel quarto capitolo.