• densità
• Jin
• ultrafiltro

In questa tesi ci proponiamo di fornire una panoramica esaustiva sul teorema di Jin, le sue possibile estensioni e le diverse tecniche adottabili per dimostrarle.

Inizieremo introducendo alcuni concetti base utili a descrivere la grandezza di un insieme (per lo più lavoreremo in Z) ed enunceremo alcune proprietà generali utili a coglierne meglio le peculiarità.

Enunceremo il teorema di Jin: "la somma di due insiemi aventi densità di Banach positiva è sindetica a tratti"; mostreremo tre differenti dimostrazioni che sfrutteranno sia proprietà combinatorie degli insiemi trattati sia alcuni strumenti più avanzati, come per esempio la traslazione per un ultrafiltro.

Nel terzo capitolo rafforzeremo la tesi di Jin mostrando che la somma trattata è addirittura un insieme di Bohr a tratti; esibiremo due diverse dimostrazioni che si fondano sul medesimo principio di decomposizione ma che si sviluppano basandosi su risultati diversi della teoria ergodica.

Passeremo poi a spazi radicalmente differenti ridimostrando sui gruppi amenabili i risultati precedentemente ottenuti e vedremo come sia possibile riutilizzare le idee precedenti riscrivendole in termini di successioni di Folner.

Infine, nell'ultimo capitolo, saranno riportati alcuni risultati recentissimi che illustrano come indebolire le ipotesi del teorema di Jin pur continuando a verificare la stessa tesi e ragioneremo sui potenziali ulteriori sviluppi in questo campo.