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Non si possiede al momento, come noto, una soluzione esatta per il problema a molti corpi. Deve essere ancora chiarito l'effetto delle interazioni Coulombiane che ci si aspetta possano contribuire anche alle proprietà più importanti, come quello di stato fondamentale. Questo è uno dei motivi per il quale nel corso del tempo si sono sviluppati una serie di esperimenti per studiare il ruolo dell'interazione tra due famiglie di elettroni. Fondamentale dunque risulta fare in modo che queste due famiglie fossero abbastanza separate tra loro da essere considerate sistemi quantistici distinti ma ancora abbastanza vicine da interagire attraverso le interazioni Coulombiane, in modo da evidenziare il contributo di queste ultime. Ci si aspetta che un tale regime esista, data la natura a lungo raggio delle forze in questione.
La prima idea sperimentale in questo senso consiste nel confinare degli elettroni in due superfici bidimensionali separate: imponendo una densità di corrente J su una delle due superfici, nella seconda si svilupperà un campo elettrico E. Questo campo elettrico è necessario in quanto gli elettroni presenti sulla superficie in cui si sta inviando corrente (la superficie “attiva") trascinano nella medesima direzione gli elettroni sull'altra superficie (detta “passiva") a causa delle interazioni Coulombiane. Dato che la superficie passiva non è collegata a nessun circuito, corrente qui non può scorrere e quindi si origina un campo elettrico macroscopico E che annulla il trascinamento. Il coefficiente di transresistività E/J, nella sua dipendenza da temperatura e densità, è l'obiettivo di misure sperimentali e di previsioni teoriche.
In questo lavoro di Tesi si vuole formulare una teoria per la transresistività, basata sull'equazione di Boltzmann, nel caso in cui la dispersione degli elettroni nei due strati non sia necessariamente parabolica. L'interazione col reticolo non può essere ridotta ad una rinormalizzazione della massa dell'elettrone ma si rivelano necessarie funzioni d'onda più complicate. Un materiale bidimensionale realizzato solo pochi anni fa che rispecchia queste caratteristiche è il grafene. La teoria generale verrà quindi applicata al caso di due fogli di grafene disaccoppiati dal punto di vista del tunneling a singola particella (i.e. si trascurerà l'ibridizzazione tra le funzioni d'onda elettroniche nei due strati separati spazialmente).
Nel primo capitolo della Tesi si ripercorrono le basi teoriche necessarie alla comprensione dei rimanenti due: vengono presentati i fondamenti della teoria delle eterostrutture che portano alla creazione di un gas di elettroni bidimensionale e la descrizione teorica del grafene. Viene inoltre riportata la teoria della risposta lineare, la RPA (“Random Phase Approximation") e si ricavano le formule della conducibilità utilizzate in seguito.
Il secondo capitolo consiste nella presentazione di una carrellata degli esperimenti di frizione di Coulomb, a partire dai primi sistemi realizzati tramite gas di elettroni in eterostrutture. Si mostrano poi esempi di frizione tra buche ed elettroni, dove la forza di Coulomb modifica sostanzialmente lo stato fondamentale, e si arriva alle moderne proposte di frizione tra specie non spazialmente separate (frizione di spin) o tra sistemi di atomi freddi bosonici. Questa fenomenologia è accompagnata da spiegazioni teoriche.
Il terzo capitolo, contenente i risultati originali di questo lavoro di Tesi, è invece interamente dedicato alla derivazione, mediante l'equazione di Boltzmann, del coefficiente di trans resistività nel caso di due strati elettronici generici ed all'applicazione poi al caso particolare di due strati di grafene. La derivazione è effettuata a temperatura arbitraria ed alla stessa maniera sono svolti i calcoli numerici. Le formule ottenute vengono inoltre sviluppate analiticamente nei limiti di alta e bassa temperatura.