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• quantum wires
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Nata per modellizzare molecole aromatiche, la meccanica quantistica su grafi ha assunto un notevole interesse nello studio delle propriet\`a di trasporto su quantum wires. In quest'ambito i quantum graphs costituiscono un modello semplificato per trattare la propagazione di onde all'interno di strutture mesoscopiche unidimensionali in cui una dimensione spaziale prevale sulle altre. Negli ultimi anni la possibilit\`a di realizzare giunzioni tra nanotubi di carbonio ha riacceso l'interesse per la teoria dei quantum wires permettendo un confronto tra i modelli teorici e i sistemi che essi descrivono. \\
Lo scopo di questa tesi \`e quello di sviluppare una teoria di campo su quantum graphs. In questo modello i vertici del grafo rappresentano le giunzioni dei quantum wires e sono schematizzati da difetti puntiformi caratterizzati da una matrice di scattering $S$.

Nei primi capitoli determineremo le condizioni di autoaggiunzione dell'operatore hamiltoniano $- \Delta$ su grafi a stella studiando i sottospazi isotropi massimali del dominio di $\Delta$. Stabiliremo inoltre una corrispondenza tra le sue estensioni autoaggiunte e particolari coppie di matrici che esprimono le condizioni al bordo nel vertice.

Successivamente, attraverso lo studio delle autofunzioni delle estensioni autoaggiunte di $\Delta$, definiremo una matrice di scattering che rappresenta l'interazione al vertice dovuta alle condizioni al bordo; in questa analisi abbiamo considerato sia soluzioni ad energia positiva, corrispondente agli stati di scattering, sia ad energia negativa corrispondente agli stati legati. Come conseguenza dell'autoaggiunzione otterremo inoltre che la matrice di scattering \`e unitaria.

Nel terzo capitolo costruiremo una teoria di campo non relativistica definendo i campi come soluzioni dell'equazione di Schroedinger libera con condizioni al bordo del vertice. Per far questo definiremo due algebre di operatori che ci permetteranno, insieme alle autofunzioni trovate in precedenza, di esprimere le componenti di scattering e gli stati legati. Attraverso lo studio delle rappresentazioni di Fock e Gibbs ricaveremo il valore di aspettazione di alcune osservabili fisiche, in particolare calcoleremo numericamente la densit\`a di energia sulla semiretta in funzione delle temperatura e della posizione.

Nell'ultimo capitolo calcoleremo la risposta lineare della corrente ad un potenziale classico esterno per studiare le propriet\`a di conducibilit\`a su un quantum wire. A questo scopo accoppieremo il potenziale elettromagnetico con i campi seguendo la prescrizione dell'accoppiamento minimale e calcoleremo il contributo al primo ordine alla densit\`a di corrente. Infine, dopo avere approfondito il rapporto tra le simmetrie e le regole di Kirchhoff, calcoleremo il tensore di conducibilit\`a nel caso non relativistico e ne troveremo una formula esplicita in ipotesi di invarianza di scala.