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• Loop Quantum Gravity

Nel lavoro di ricerca per la tesi si è mirato a chiarire il collegamento tra i modelli di Spin Foam e la
teoria della Gravità Quantistica a Loop (LQG).
La LQG consiste nel considerare la relatività generale (GR) senza materia (per adesso), cioè puro
campo gravitazionale, darne una formulazione hamiltoniana e quantizzare il sistema hamiltoniano
ottenuto promuovendo le variabili canoniche a operatori con le corrette regole di commutazione,
costruendo lo spazio di Hilbert con una struttura di prodotto scalare, ... La LQG è un tentativo di
comprendere quali caratteristiche deve avere una teoria coerente che parta dai principi fondamentali
della meccanica quantistica e della GR. Attualmente, la LQG non è completa: una delle principali
questioni aperte, se non la principale, è quella di trovare le soluzioni della versione quantistica
dell'ultimo vincolo della formulazione canonica della GR: il cosiddetto vincolo scalare. Risolvere
questo problema significa anche poter trovare il prodotto scalare nello spazio di Hilbert della teoria
e quindi poter calcolare, almeno in linea di principio, le ampiezze di transizione tra coppie di stati.
I modelli di Spin Foam sono un tentativo di costruire una versione quantistica della GR in maniera
covariante utilizzando gli integrali sui cammini di Feymann. Questi ultimi, come è ben noto,
forniscono direttamente le ampiezze di transizione tra coppie di stati facendo una “somma” su
“tutte” le possibili “evoluzioni” dallo stato iniziale a quello finale di una “determinata quantità”
associata ad ogni “evoluzione”. Il problema centrale di questo approccio alla gravità quantistica è
quello di chiarire per esempio il significato della parola “somma” usata precedentemente (cioè
definire la misura di integrazione sui cammini), della parole “tutte” (cioè capire su quale insieme di
cammini integrare), di chiarire qual è di preciso quella “determinata quantità” associata ad ogni
cammino. Bisogna capire inoltre quali sono gli stati tra i quali calcolare le ampiezze di transizione
in gravità quantistica. Ogni modello di Spin Foam dà delle proposte di risposta a queste domande.
Essi utilizzano come stati iniziali e finali i cosiddetti spin network, che sono proprio gli stati che
costituiscono la base dello spazio di Hilbert costruito in LQG. Gli spin network sono oggetti discreti
e, sostanzialmente, una conseguenza di ciò è che l'integrale sui cammini nei modelli di Spin Foam
diventa una somma discreta.
Nel lavoro di ricerca per la tesi si sono presi in esame alcuni modelli di Spin Foam e si è cercato il
prodotto scalare nello spazio di Hilbert della LQG che fornisce ampiezze di transizione uguali a
quelle del modello di Spin Foam di volta in volta considerato. Un lavoro analogo era stato già fatto
nelle 2+1 dimensioni, dove la gravità è una teoria topologica, quindi molto più semplice rispetto
alla quella in 3+1 dimensioni. Risolvere questo problema significherebbe fare un passo avanti per
poter capire se il prodotto scalare così trovato fornisce le soluzioni del vincolo scalare della LQG e,
in caso di risposta affermativa, aver sostanzialmente completato il programma di quantizzazione
canonica della gravità, lanciato da Dirac negli anni '30. Inoltre, in questo caso, si avrebbe la
dimostrazione che il modello di Spin Foam considerato è equivalente alla LQG, cioè si avrebbe una
versione covariante della gravità quantistica equivalente alla versione canonica.
Nel lavoro di ricerca svolto si è trovata una formula per il prodotto scalare che si cercava per quanto
riguarda la cosiddetta teoria BF, il modello Barrett-Crane, il modello Engle-Pereira-Rovelli (EPR)
e i modelli Freidel-Krasnov. Tale formula è stata trovata nel caso di una transizione tra stati
semplici, la quale è probabilmente il mattoncino fondamentale per le ampiezze di transizione tra
una qualsiasi coppia di stati. Non è ancora chiaro per bene se uno di questi prodotti scalari fornisce
le soluzioni al vincolo scalare. La formula trovata potrebbe essere utile per calcolare il limite
classico e semiclassico del modello EPR, l'attuale candidato principe per la gravità quantistica
covariante.