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Tesi etd-09042018-214555


Thesis type
Tesi di laurea magistrale
Author
AFELTRA, CLAUDIO
URN
etd-09042018-214555
Title
Equazioni subellittiche omogenee su gruppi di Carnot
Struttura
MATEMATICA
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Malchiodi, Andrea
Parole chiave
  • gruppi di carnot
  • equazioni differenziali
Data inizio appello
21/09/2018;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
In questa tesi verrà studiata l&#39;equazione −∆u = |u|^{n+2/n-2}u su Rn e su gruppi di Carnot.<br><br>Nel primo capitolo vedremo che su Rn essa è soddisfatta dagli ottimizzatori della diseguaglianza di Sobolev, e quindi troveremo la costante ottimale e una famiglia di minimizzatori di essa usando il riarrangiamento radiale per ricondurci ad un problema unidimensionale.<br><br>Nel secondo capitolo vedremo che su Rn trovare le soluzioni positive dell&#39;equazione equivale a risolvere il problema di Yamabe, che consiste nel trovare una metrica con curvatura scalare costante conformemente equivalente ad una data, e che in varietà generali al suo posto compare un&#39;equazione simile.<br>All’inizio del capitolo verranno illustrate alcune delle idee della soluzione del problema di Yamabe.<br>Dopo troveremo le soluzioni positive regolari dell’equazione usando il metodo delle moving spheres, e quelle singolari in un punto con il metodo dei moving planes.<br><br>Nel terzo capitolo verranno introdotti i gruppi di Carnot, ed il loro sublaplaciano, che è l’analogo, per i gruppi di Carnot, del laplaciano. Attraverso la sua decomposizione spettrale ne definiremo le potenze frazionarie su L2, e attraverso il flusso da esso generato ne definiremo le potenze frazionarie su Lp. Grazie a ciò potremo definire sui gruppi di Carnot gli analoghi degli spazi di Sobolev, e generalizzare i teoremi di immersione di Sobolev.<br><br>Infine nel quarto capitolo studieremo l’indice di Morse delle soluzioni dell&#39;equazione, dimostrando che la sua finitezza è equivalente all&#39;integrabilità in L^{2n/n−2}, ed implica altre proprietà.
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