• curve
• Deligne-Mumford
• spazi di moduli
• curve liscie
• stack
• riduzione stabile
• riduzione semistabile
• curve stabili

L'approccio funtoriale in geometria algebrica risulta particolarmente fondamentale in teoria dei moduli. Nel nostro caso si cerca uno spazio parametrizzante per le curve liscie di genere $g\geq 2$; una domanda ben posta è la seguente: il funtore $\underline{M}_g\colon (\text{Sch})\rightarrow (\text{Set})$ definito da

$$\underline{M}_g(S)=\{p\colon X\rightarrow S\ |\ p \text{ famiglia di curve liscie di genere } g\}/\text{ isomorfismo}$$

è rappresentabile? Per famiglia di curve liscie si intende un morfismo $p$ piatto, proprio e localmente di presentazione finita con fibre geometriche che sono curve proiettive, connesse e liscie di genere $g$. Se così fosse, otterremmo uno spazio di moduli fine e una famiglia universale di curve da cui ogni altra si ottiene per pullback tramite un'unica mappa (lemma di Yoneda).

La risposta purtroppo è negativa e il problema è dovuto alle curve con automorfismi non banali, che permettono di costruire famiglie isotriviali ma non globalmente banali. A questo punto una possibile soluzione è rigidificare il problema aggiungendo dei dati (sezioni, banalizzazioni di gruppi di coomologia, etc.); un'altra è accontentarsi di cercare uno spazio di moduli grezzo e studiare le sue proprietà; un'altra ancora (ed è il nostro approccio) è estendere la categoria in cui si lavora.

Il problema che vogliamo studiare diventa quello delle famiglie di curve, non più modulo isomorfismo: degli automorfismi è importante tenere conto. Il formalismo adeguato risulta essere quello delle categorie fibrate in gruppoidi (un gruppoide è una categoria in cui ogni freccia è invertibile, ma un oggetto può avere automorfismi non banali). Restringendosi, si introducono gli stack (moralmente fasci di categorie: nel nostro caso, il punto è che una famiglia di curve si può dare localmente sulla base nella topologia étale) e gli stack algebrici: questi ammettono un ricoprimento liscio (o étale nei casi migliori, come il nostro; in tal caso si chiamano di Deligne-Mumford) da uno schema (o spazio algebrico). Ciò ci permette di estendere a questa categoria molte delle proprietà geometriche degli schemi e dei loro morfismi (quelle che sono stabili per cambio base e locali nella topologia étale). Nella seconda parte della tesi introduciamo questo formalismo e proviamo che lo stack delle curve liscie è di Deligne-Mumford, separato e di tipo finito su $\mathbb Z$.

Lo stack di curve liscie non è tuttavia proprio; il criterio valutativo traduce questo problema nel seguente: data una curva liscia sul punto generico di un anello di valutazione discreta, si può estendere in modo liscio al punto chiuso? La risposta in generale è no; ci sono famiglie che necessariamente degenerano in curve singolari. Il punto allora diventa identificare la minima classe di curve singolari che ci permette di ottenere una compattificazione dello spazio di curve liscie e, allo stesso tempo, uno spazio di moduli separato (ammettere qualsiasi singolarità non funziona, per esempio lo scoppiamento di un punto della fibra chiusa non modifica quella generica e ne fornisce un'estensione alternativa). Questo fu fatto nel famoso articolo di P. Deligne e D. Mumford del 1969, in cui furono introdotte le curve stabili (curve nodali con una condizione combinatorica volta a far sì che il gruppo degli automorfismi risulti finito), oltre al concetto di ciò che oggi chiamiamo stack di Deligne-Mumford.

Nell'articolo si prova il teorema di riduzione stabile: dato un campo di valutazione discreta $K$ e una curva liscia $C$ di genere $g\geq 2$ su di esso, esistono un'estensione finita e separabile $K'$ e un anello di valutazione discreta $R'$ con campo delle frazioni $K'$ tali che $C\times_{\Spec(K)}\Spec(K')$ ammette un modello stabile su $\Spec(R')$. Si osservi che l'estensione della base è necessaria (per gli stack, diversamente dal caso degli schemi). La dimostrazione originale si appoggia a un teorema di riduzione stabile per varietà abeliane, dovuto a A. Grothendieck. Nella prima parte della tesi ripercorriamo invece una dimostrazione dovuta a M. Artin e G. Winters.

I passi fondamentali sono i seguenti: (i) se una curva ammette riduzione semistabile, allora il modello canonico è stabile (ed è l'unico modello stabile) (ii) si mette in relazione la struttura del gruppo di Picard di una curva con la semistabilità (iii) un'analisi combinatorica mostra che dopo un'opportuno cambiamento di base si realizzano le condizioni perché il modello minimale sia semistabile. Strumenti imprescindibili sono la teoria delle superfici (teoria dell'intersezione su superfici regolari e geometria birazionale), lo studio della struttura del gruppo di Picard per curve singolari e le principali proprietà delle curve nodali e stabili.