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Tesi etd-09032010-095400


Thesis type
Tesi di laurea specialistica
Author
CAPUANO, LAURA
URN
etd-09032010-095400
Title
Salti della ramificazione nelle p-estensioni cicliche dei campi p-adici
Struttura
SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di studi
MATEMATICA
Commissione
relatore Prof.ssa Del Corso, Ilaria
Parole chiave
  • p-estensioni
  • salti
  • ramificazione
  • gruppi
Data inizio appello
24/09/2010;
Consultabilità
completa
Riassunto analitico
Il problema principale analizzato nella tesi è quello della determinazione di condizioni necessarie e sufficienti affinché, dato un campo K completo (rispetto ad una valutazione discreta) con caratteristica 0 e campo dei residui finito di caratteristica p, e data una m-pla di interi {t1, . . . , tm}, esista un’estensione ciclica totalmente ramificata di grado p^m tale che i salti dei gruppi di ramificazione con indici in alto siano esattamente {t1, . . . , tm}.<br>La risoluzione di tale questione risulta direttamente legata alla presenza di radici p^s-esime dell’unit`a nel campo K. <br>Storicamente il problema infatti è stato risolto inizialmente da E.Maus in due casi particolari: il primo, in cui K non contiene radici p-esime dell’unità, e il secondo in cui K contiene una radice p-esima dell’unità ζp e v(ζp − 1) non è divisibile per p.<br>In seguito H.Miki ha completato la trattazione del problema mostrando che, nel caso in cui ζp appartiene K e p divide v(ζp − 1), l’esistenza di una certa relazione tra alcuni generatori del gruppo delle unità di K come Z_p -modulo rende più difficile determinare i possibili salti della ramificazione. La dimostrazione data da Miki però non è costruttiva.<br>Lo studio di tale problema utilizza come strumenti principali la class field e le proprietà della norma ristretta al gruppo delle unità di K. Nell’ipotesi in cui il campo dei residui K sia finito, il teorema di esistenza della class field asserisce che esiste una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi N di K∗ di indice finito e le estensioni abeliane finite L di K tale che N = N(L∗). Da tale corrispondenza discende anche l’isomorfismo tra il gruppo di Galois G dell’ estensione e il gruppo finito K∗/N(L∗).<br>Scopo della tesi è stato quello di rielaborare i risultati di Maus e di Miki e di fornire, utilizzando alcune idee di Sueyoshi, una costruzione esplicita del sottogruppo normico N di K∗ associato ad un’estensione con salti della ramificazione in alto dati usando le proprietà di una particolare base del gruppo delle unità di K.<br>Ho inoltre trattato dettagliatamente alcuni esempi quali le estensioni ciclotomiche, le estensioni di grado p (che possono essere trattate in modo diretto senza l’uso della class field) e le estensioni totalmente ramificate di<br>grado p^2 con gruppo di Galois Z/pZ × Z/pZ.
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