• gruppi
• p-estensioni
• ramificazione
• salti

Il problema principale analizzato nella tesi è quello della determinazione di condizioni necessarie e sufficienti affinché, dato un campo K completo (rispetto ad una valutazione discreta) con caratteristica 0 e campo dei residui finito di caratteristica p, e data una m-pla di interi {t1, . . . , tm}, esista un’estensione ciclica totalmente ramificata di grado p^m tale che i salti dei gruppi di ramificazione con indici in alto siano esattamente {t1, . . . , tm}.
La risoluzione di tale questione risulta direttamente legata alla presenza di radici p^s-esime dell’unit`a nel campo K.
Storicamente il problema infatti è stato risolto inizialmente da E.Maus in due casi particolari: il primo, in cui K non contiene radici p-esime dell’unità, e il secondo in cui K contiene una radice p-esima dell’unità ζp e v(ζp − 1) non è divisibile per p.
In seguito H.Miki ha completato la trattazione del problema mostrando che, nel caso in cui ζp appartiene K e p divide v(ζp − 1), l’esistenza di una certa relazione tra alcuni generatori del gruppo delle unità di K come Z_p -modulo rende più difficile determinare i possibili salti della ramificazione. La dimostrazione data da Miki però non è costruttiva.
Lo studio di tale problema utilizza come strumenti principali la class field e le proprietà della norma ristretta al gruppo delle unità di K. Nell’ipotesi in cui il campo dei residui K sia finito, il teorema di esistenza della class field asserisce che esiste una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi N di K∗ di indice finito e le estensioni abeliane finite L di K tale che N = N(L∗). Da tale corrispondenza discende anche l’isomorfismo tra il gruppo di Galois G dell’ estensione e il gruppo finito K∗/N(L∗).
Scopo della tesi è stato quello di rielaborare i risultati di Maus e di Miki e di fornire, utilizzando alcune idee di Sueyoshi, una costruzione esplicita del sottogruppo normico N di K∗ associato ad un’estensione con salti della ramificazione in alto dati usando le proprietà di una particolare base del gruppo delle unità di K.
Ho inoltre trattato dettagliatamente alcuni esempi quali le estensioni ciclotomiche, le estensioni di grado p (che possono essere trattate in modo diretto senza l’uso della class field) e le estensioni totalmente ramificate di
grado p^2 con gruppo di Galois Z/pZ × Z/pZ.