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La somma diretta delle coomologie di tutti i gruppi simmetrici ha una struttura algebrica molto ricca. Per esempio, è noto che l'usuale prodotto cup, insieme con un altro prodotto e un coprodotto, conferisce ad essa una struttura di anello di Hopf. In un loro articolo del 2011 Sinha, Giusti e Salvatore hanno determinato una sua presentazione in termini di generatori e relazioni nel caso di coefficienti modulo 2. Ciò porta ad una base additiva per la coomologia di ogni gruppo simmetrico con una regola esplicita per il calcolo del prodotto.

In questa tesi verrà esposto il risultato dei tre autori nominati sopra che, se si estrapola la sola struttura di anello, consente di dedurre un classico teorema di Nakaoka. La dimostrazione di questi fatti richiederà un richiamo sulle proprietà omologiche degli spazi E infinito e sull'algebra di Dyer-Lashof. Abbiamo inoltre generalizzato il teorema principale dell'articolo sopra citato al caso di coefficienti modulo p. Le idee matematicamente sofisticate utilizzate per la dimostrazione di questo fatto sono essenzialmente contenute nell'articolo sopra citato e in un teorema di May, il quale consente di trovare ulteriori relazioni che, in aggiunta a quelle già ottenute da Sinha, Salvatore e Giusti, descrivono completamente l'oggetto in questione. Sebbene sia di semplice derivazione, l'autore non è a conoscenza di alcuna pubblicazione in cui questa presentazione appare esplicitamente.

In dettaglio, nella prima sezione del primo capitolo verrà richiamata la costruzione del complesso di Salvetti per il complementare di un arrangiamento di iperpiani e si fornirà, a partire da essa, un modello CW per lo spazio classificante del gruppo simmetrico su n oggetti. Successivamente verrà descritto un altro complesso di cocatene che ne calcola la coomologia e verrà infine dimostrato che esso è isomorfo a quello che si ottiene dallo spazio topologico della prima parte. Questa equivalenza semplificherà, nelle parti successive della tesi, alcuni ragionamenti.

Il secondo capitolo presenterà gli operad dei cubi piccoli e le operazioni di Dyer-Lashof che ne derivano. Esse conferiscono maggiore struttura alla somma diretta dei gruppi di coomologia dei gruppi simmetrici e consentono di rivisitare un teorema classico, dimostrato da Nakaoka con metodi puramente algebrici, in termini topologici. Ciò verrà fatto alla fine del capitolo.

Usando proprio questo risultato, nella parte seguente della tesi verrà dimostrato il teorema di Sinha, Giusti e Salvatore nominato sopra e verranno indagate le relazioni dell'anello di Hopf descritto con il complesso di Salvetti.

L'ultimo capitolo è dedicato alla determinazione della struttura di anello di Hopf per coefficienti modulo p e ad alcuni esempi, che servono a confrontare l'utilizzo di questa presentazione con un approccio diretto.

In tutta la tesi vengono date per scontato le nozioni fondamentali di topologia algebrica, la conoscenza dei CW-complessi, le basi della teoria degli arrangiamenti di iperpiani e dei gruppi di Coxeter. Allo scopo di agevolare il lettore è stato scelto di inserire una breve appendice per richiamare i concetti principali di queste ultime due teorie.