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Il grafene, un cristallo bidimensionale costituito da un reticolo monoatomico a nido d'ape di atomi di carbonio, è stato di recente ottenuto dal taglio micromeccanico della grafite, di cui è lo strato costitutivo.
Questo risultato ha incoraggiato lo studio delle proprietà elettroniche di questo sistema: prima del 2004 non esistevano cristalli bidimensionali se non stabilizzati da un opportuno substrato; ovviamente gas di elettroni a bassa dimensionalità esistono già in eterostrutture a semiconduttore, in cui è possibile raggiungere spessori di poche decine di passi reticolari. Il grafene tuttavia non ha rivali da questo punto di vista: gli elettroni sono legati agli orbitali 2p del carbonio, la cui estensione trasversa è dell'ordine dell'Angstrom; il sistema si è rivelato un buon conduttore, con mobilità elettroniche che si mantengono alte anche a temperatura ambiente.

Nel presente lavoro di tesi ci proponiamo di studiare le proprietà a molti corpi del grafene, concentrandoci in particolare sul diagramma di fase e sulle eccitazioni collettive degli elettroni in singoli e doppi strati.
Nel singolo strato, la dispersione lineare degli elettroni fa sì che tutte le proprietà a singola particella, come l'effetto Hall quantistico intero, siano governate dall'equazione di Dirac per sistemi a due dimensioni.
Le interazioni Coulombiane invece devono essere trattate mediante la teoria non relativistica: singoli strati di grafene drogati sono stati dimostrati essere liquidi di Fermi normali.
Nel caso di due strati di grafene accoppiati, il tunneling elettronico da uno strato all'altro introduce una piccola massa efficace per l'elettrone, la cui dispersione torna ad essere parabolica almeno a piccoli vettori d'onda. Utilizzando un gradiente di campo elettrico tra i due strati, è possibile modificare la forma delle bande e introdurre un ``gap'' utile al confinamento delle particelle.
Proprio per questo motivo, il doppio strato è la struttura che attualmente desta maggiore interesse ai fini della costruzioni di dispositivi nanoelettronici.

Nel primo capitolo introdurremo dunque la teoria a molti corpi per un gas di bidimensionale di elettroni con dispesione parabolica, riportandone l'energia di stato fondamentale nella nota approssimazione Hartree-Fock e discutendone il diagramma di fase.
Con lo scopo di migliorare la descrizione fornita dalla teoria Hartree-Fock, studieremo inoltre la teoria della risposta lineare: introdurremo la funzione di risposta densità-densità del gas di elettroni non interagente, e otterremo una descrizione dello schermo elettrostatico e delle oscillazioni di plasma di un gas interagente nell'ambito della ``Random Phase Approximation'' (RPA).

Nel secondo capitolo passeremo alla trattazione del singolo strato di grafene, utilizzando l'approssimazione tight-binding per ricavare la legge di dispersione delle particelle, che risulterà lineare in un intorno dei punti di contatto tra banda di valenza e banda di conduzione.
A conferma dell'andamento lineare delle bande ci soffermeremo su alcuni esperimenti portati a termine recentemente per indagare le proprietà degli elettroni nel grafene, tra cui l'osservazione dell'effetto Hall quantistico intero e gli studi spettroscopici sulla struttura a bande.
Con lo scopo di descrivere gli effetti a molti corpi, calcoleremo quindi la funzione di risposta densità-densità in assenza di interazioni e la utilizzeremo per ricavare l'energia di stato fondamentale RPA del sistema interagente, la sua compressibilità e suscettività di spin.
Uno dei contributi originali di questa tesi è la continuazione analitica all'asse delle frequenze reali della funzione di risposta densità-densità trovata da Barlas et al. sull'asse immaginario.
Il risultato ottenuto è in perfetto accordo con quello di Wunsch et al., ed ha permesso di calcolare accuratamente la dispersione del plasmone, la funzione di Green a una particella e la funzione spettrale.

Nel terzo capitolo discuteremo i risultati originali ottenuti per il diagramma di fase del doppio strato di grafene, nella configurazione nota in letteratura come ``Bernal stacking''.
Utilizzeremo a tali fini un modello a due bande, che descrive correttamente le proprietà di eccitazione di bassa energia. Ricaveremo per questo modello una hamiltoniana di campo medio e risolveremo in modo auto-consistente la sua equazione agli autovalori, ottenendo lo stato fondamentale in approssimazione Hartree-Fock.
In questa approssimazione mostriamo come il doppio strato di grafene sia instabile, per opportuni valori del drogaggio, rispetto al trasferimento di carica da uno strato all'altro.
Tale instabilità è dovuta al guadagno in energia di scambio che si verifica se gli elettroni vengono localizzati interamente su uno dei due strati, e che in determinate condizioni risulta essere maggiore dell'energia Coulombiana spesa per il trasferimento di carica.