• fisica del plasma
• plasma physics
• teoria hamiltoniana
• hamiltonian theory

Nella ricerca di metodi per innescare la fusione nei plasmi con nati magneticamente, le onde elettromagnetiche nel regime lower hybrid giocano un ruolo importante, soprattutto per quanto riguarda la generazione di una corrente toroidale non induttiva, nel regime di funzionamento detto lower hybrid current drive (LHCD). La propagazione delle onde lower hybrid e la loro interazione con il plasma di fusione e stata studiata a lungo sia
teoricamente sia sperimentalmente. I modelli più realistici fanno uso del sistema di equazioni di Vlasov-Maxwell: sebbene questo approccio sia più completo, non fornisce una comprensione intuitiva del comportamento del sistema che stiamo studiando. Al contrario, i modelli semplificati basati sulle equazioni fluide e l'approssimazione
WKB, sebbene siano meno affidabili di quelli cinetici, danno una comprensione intuitiva del sistema fisico. L'uso della approssimazione WKB permette di trasformare il sistema di equazioni integro-differenziali di Vlasov-Maxwell in una equazione differenziale non-lineare alle derivate parziali per la superficie di fase S(x). Questa a
sua volta diventa una equazione algebrica, ovvero la relazione di dispersione, una volta che si identifichi il gradiente di S(x) con il vettore d'onda k. Dal momento che questa equazione ha carattere Hamiltoniano, l'evoluzione delle traiettorie della posizione e del vettore d'onda puo' essere studiata come un flusso Hamiltoniano. Questo metodo, detto del ray tracing, permette di ricostruire le superfici di fase risolvendo le equazioni di Hamilton per la posizione e il vettore d'onda, che rappresentano le variabili coniugate del sistema.
La soluzione di queste equazioni descrive l'evoluzione del vettore d'onda parallelo al campo magnetico all'interno del plasma, a partire dalla posizione dell'antenna emittente: infatti il vettore d'onda parallelo e responsabile dell'assorbimento dell'onda per mezzo di Landau damping sugli elettroni, pertanto siamo interessati alla ricostruzione della sua
evoluzione temporale per determinare in che modo avviene l'assorbimento.
Nel presente lavoro di tesi abbiamo affrontato il problema di descrivere l'evoluzione delle variabili coniugate del sistema, ovvero posizione e vettore d'onda, considerando dapprima la relazione di dispersione elettrostatica 1D in geometria slab: questo significa che si utilizzano coordinate Cartesiane anziché curvilinee. Questa approssimazione è valida localmente oppure quando la curvatura del dispositivo e molto piccola. In questo caso abbiamo osservato che, assumendo un profilo di densità parabolico, la relazione di dispersione assume la forma dell'Hamiltoniana di un oscillatore armonico unidimensionale. Abbiamo quindi ricavato la trasformazione che permette di riscrivere il sistema nelle variabili angolo e azione, che è indispensabile per applicare la teoria perturbativa. Nel caso Cartesiano, la perturbazione del sistema integrabile deriva dalla dipendenza del campo magnetico dalla coordinata y
(l'angolo poloidale in geometria cilindrica), che entra in gioco attraverso le componenti del tensore dielettrico.
In seguito invece abbiamo studiato il sistema in geometria cilindrica e toroidale, dove entrano in gioco importanti effetti dovuti ai coefficienti della metrica. In particolare, la relazione di dispersione in coordinate cilindriche è identica alla Hamiltoniana di un oscillatore 3D isotropo, per cui ancora una volta siamo riusciti a trovare un analogo meccanico, e di nuovo abbiamo ricavato la trasformazione dalle variabili originarie alle variabili canoniche.
Questa volta però il principale contributo alla perturbazione del sistema integrabile deriva dal coefficiente della metrica dovuto alla geometria toroidale, che gioca un ruolo più importante rispetto a quello delle componenti del tensore dielettrico.
Infine abbiamo compiuto delle integrazioni numeriche delle equazioni Hamiltoniane nei vari casi considerati, sia con un integratore Runge-Kutta sia con un algoritmo simplettico, che conserva l'energia del sistema e il volume nello spazio delle fasi. L'uso di un algoritmo simplettico e utile ogni qual volta dobbiamo effettuare un'integrazione su tempi lunghi di un flusso Hamiltoniano, poiché la non-conservazione dell'energia da parte degli algoritmi derivati dal metodo di Eulero puo' provocare un significativo accumulo di errore numerico che puo' compromettere l'attendibilità del calcolo.