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• teoria delle rappresentazioni
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Lo studio delle rappresentazioni di un’Algebra di Lie semisemplice sui numeri complessi è un problema molto complicato, persino la classificazione delle rappresentazioni semplici è completamente compresa solo nel caso di sl(2, C). La Categoria O è una sottocategoria della categoria di tutte le rappresentazioni che ha proprietà strutturali particolarmente buone e che comprende al suo interno classi di rappresentazioni significative, come quelle di dimensione finita e quelle di peso più alto. La tesi presenta le costruzioni principali riguardanti questa categoria soffermandosi sui funtori di traslazione. Più specificatamente verrà mostrato come tali funtori permettano di ricondurre il calcolo del carattere di un modulo irriducibile nella categoria O, un problema fondamentale in questa teoria, a un caso molto particolare che storicamente è stato poi affrontato utilizzando tecniche di natura completamente diversa che non verranno trattate nella tesi.

The study of representations of a semisimple Lie Algebra over the complex field is a very complicated problem; even the classification of simple representations is fully understood only in the case of sl(2, C). Category O is a subcategory of the category of all representations which has particularly good structural properties and which includes significant representations, such as finite-dimensional modules and highest weight modules. The dissertation presents the main constructions concerning this category focusing on translation functors. More specifically, it will be shown how these functors allow us to bring the computation of the character of an irreducible module in Category O, a fundamental problem in this theory, back to a very particular and simplified case which historically was then tackled using techniques of a completely different nature which will not be dealt within the thesis.