L'argomento di questa tesi è il problema di dare una struttura iperbolica (completa e di volume finito) a una 3-varietà.

Nel primo capitolo sono richiamati i risultati di geometria iperbolica utilizzati nel seguito.

Nel secondo capitolo è descritto il metodo introdotto da Thurston negli anni '70 per dare strutture iperboliche alle 3-varietà con cuspidi, tramite le equazioni di incollamento di Thurston, insieme ad una versione modificata di Casson, degli anni '90, in cui la struttura iperbolica viene ricavata cercando i punti di massimo del volume per delle strutture ad angoli euclidee.

Nel terzo capitolo sono riportati i due approcci noti per il caso delle varietà chiuse: quello di Manning, del 2002 (solo accennato), e quello di Luo, Tillman e Yang, del 2010. Quest'ultimo sfrutta il fatto che è possibile ottenere una struttura iperbolica a partire da una soluzione di volume massimo delle equazioni di Thurston algebriche (simili alle equazioni di incollamento).

Sia su varietà chiuse che con cuspidi sono definite delle "equazioni di Thurston": nel quarto capitolo è esposto un tentativo, di Luo ed altri autori, di generalizzare alcune di queste idee per triangolazioni di pseudovarietà. Su una pseudovarietà sono definite le equazioni di Thurston algebriche e le strutture ad angoli a valori in S¹. Su queste ultime è definito un volume, ed i punti di massimo danno origine:
* se lisci, a soluzioni delle equazioni di Thurston algebriche generalizzate;
* se non lisci, a soluzioni particolarmente semplici dell'equazione delle superfici normali.

Ho implementato in Python delle funzioni che permettono di trattare strutture ad angoli e equazioni di Thurston; nel quinto capitolo sono presenti degli esempi di calcolo, e in appendice è riportato il codice sorgente.