• exponential polynomials
• generalized power sums
• Lech-Mahler-Skolem
• quotient theorem
• recurrence sequences
• root theorem
• hadamard operations
• specialization

Versione Italiana:

La tesi è incentrata sulle proprietà dell'anello di Hadamard su un campo K, specialmente nel caso in K sia un'estensione finita (finitamente generata) di Q. L'anello di Hadamard H(K) è costituito dalle serie di Taylor di funzioni razionali definite in 0, con le operazioni, dette di Hadamard, di somma e moltiplicazione componente per componente. In particolare studiamo quando sia possibile risolvere, dentro H(K), equazioni a coefficienti in H(K).

Affinché un'equazione sia risolubile in H(K) è anzitutto necessario che esista una soluzione "formale", cioè nell'anello più grande dato da tutte le serie di potenze (sempre con la moltiplicazione di Hadamard). Questa verifica si riconduce alla risoluzione di equazioni algebriche in K. La filosofia è la seguente: se K è molto lontano dall'essere algebricamente chiuso (ad esempio è finitamente generato), la risolubilità formale diventa già una condizione forte, che può bastare a garantire (o quasi) la risolubilità in H(K).

Più precisamente mostriamo, lavorando su campi di numeri, i due seguenti risultati (noti):
1) se l'equazione ax=b è risolubile formalmente e i coefficienti della serie soluzione stanno in un anello finitamente generato, allora la soluzione sta in H(K) (teorema del quoziente)
2) se l'equazione x^m=a è risolubile formalmente, allora esiste una soluzione in H(K) (teorema della radice)
Inoltre cerchiamo di estendere il teorema della radice a equazione moniche qualunque: la dimostrazione è completa solamente nel caso di equazioni di grado basso, ma c'è uno sketch dettagliato della strada che si può seguire per il caso generale.

Infine nell'ultima parte introduciamo tecniche di specializzazione per generalizzare i teoremi 1 e 2 a campi finitamente generati.

English version:

The thesis is centered on the properties of the Hadamard ring over a field K, especially in the case that K is a finite (finitely generated) extension of Q. The Hadamard ring H(K) is formed by the Taylor series of rational functions defined in 0, equipped with the operations, known as Hadamard's, of componentwise sum and product. In particular we study when is it possible to solve, inside H(K), equations with coefficients in H(K).

For an equation to be solvable inside H(K) is first of all necessary that a "formal" solution exists in the larger ring formed by all power series (again with the Hadamard product). This verification reduces to the resolution of algebraic equations in K. The philosophy is as follows: if K is far from being algebraically closed (e.g. if it is finitely generated), formal solvability becomes already a strong condition, which can be sufficient to ensure (almost) the solvability in H(K).

More precisely we show, working on number fields, the following two results (already known):
1) if the equation ax=b is formally solvable and the coefficients of the solution lie all in a finitely generated ring, then the solution belongs to H(K) (quotient theorem)
2) if the equation x^m=a is formally solvable, then there exists a solution in H(K) (root theorem)
Moreover we try to extend the root theorem to deal with arbitrary monic equations: the proof is complete only in the case of low degree, but there is a detailed sketch of the that which can be followed in general.

Finally in the last part we introduce some specialization techniques to generalize theorems 1 and 2 to finitely generated fields.