• algebraic combinatorics
• combinatoria algebrica
• Shuffle Theorem

Lo scopo di questa trattazione è dare una dimostrazione di una generalizzazione dello Shuffle Theorem, dovuta a J. Blasiak, M. Haiman, J. Morse, A. Pun e G. H. Seelinger.
Lo Shuffle Theorem originale è stato congetturato da J. Haglund, M. Haiman, N. Loehr, J. B. Remmel e A. Ulyanov nel 2005 e dimostrato da E. Carlsson e A. Mellit nel 2018 e dà un’interpretazione combinatorica della funzione simmetrica ∇e_n in termini di cammini di Dyck etichettati di taglia n∈N, cioè i cammini di lunghezza 2n che partono in (0,n), che arrivano in (n,0) e che stanno debolmente sotto la diagonale.
L’importanza del teorema è data anche dal fatto che ∇e_n è la caratteristica di Frobenius dell’algebra dei coinvarianti diagonali. Questo risultato, congetturato nel 1996 è stato dimostrato da M. Haiman nel 2002.
In questa tesi proveremo che la parte polinomiale della serie infinita H_b(x) può essere espressa come somma di polinomi LLT indicizzata da cammini π che partono da (0, ⌊s⌋) e arrivano in (⌊r⌋, 0) stando debolmente sotto il segmento che collega (0, s) e (r, 0), dove r,s∈R+ sono tali che s/r=p con p irrazionale e l = ⌊r⌋ + 1. Qui area e dinv_p sono statistiche combinatoriche associate al cammino π. Gli indici b=(b1,...,bl) sono ricavati geometricamente a partire da r e s.

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The aim of this thesis is to give a proof of a generalisation of the Shuffle Theorem due to J. Blasiak, M. Haiman, J. Morse, A. Pun and G. H. Seelinger.
The original Shuffle Theorem was conjectured by J. Haglund, M. Haiman, N. Loehr, J. B. Remmel and A. Ulyanov in 2005 and proved by E. Carlsson and A. Mellit in 2018, and gives a combinatorial interpretation of the symmetric function ∇e_n in terms of labelled Dyck paths of size n∈N, i.e., the paths of length 2n starting in (0,n), arriving in (n,0) and weakly under the diagonal.
The importance of the theorem is also given by the fact that ∇e_n is the Frobenius characteristic of the algebra of diagonal coinvariants. This result, conjectured in 1996, was proved by M. Haiman in 2002.
In this thesis, we will prove that the polynomial part of the infinite series H_b(x) can be expressed as a sum of LLT polynomials indexed by paths π starting from (0, ⌊s⌋) and arrive in (⌊r⌋, 0) lying weakly below the segment connecting (0, s) and (r, 0), where r,s∈R+ are such that s/r=p with irrational p and l = ⌊r⌋ + 1. Here area and dinv_p are combinatorial statistics associated with the path π. The indices b=(b1,...,bl) are derived geometrically from r and s.