• consistenza nel tempo
• L^0 moduli localmente convessi
• misure di rischio coerenti
• misure di rischio convesse
• misure di rischio multiperiodali
• rilevanza

Con “rischio” si intende la possibilit`a prevedibile che si verifichi un fatto negativo
o l’eventualit`a di subire un danno, una perdita, come conseguenza del proprio
comportamento o di difficolt`a oggettive.
Il problema di quantificare il rischio associato a una posizione finanziaria `e
un tema fondamentale in Matematica Finanziaria, legato al concetto di misura di
rischio. Dal punto di vista pratico, non ha senso studiare come porsi al sicuro
da rischi in un intervallo di tempo eccessivamente dilatato; allora, generalmente
una misura di rischio quantifica “oggi” il pericolo di possibili perdite in cui si
pu`o incorrere “domani”. Lo scenario `e rappresentato da uno spazio di probabilit`a
e una misura di rischio `e un’applicazione convessa  definita su uno
spazio di variabili aleatorie reali.
Uno dei problemi cruciali consiste nell’individuare lo spazio su cui definire
tale misura. Il dominio naturale `e lo spazio di tutte le variabili aleatorie L0(P), tuttavia,
si presentano alcune problematiche: un esempio tipico `e costituito dal VaR
(Value at Risk), strumento largamente usato per quantificare il rischio che, non
essendo subadditivo, non rispetta il principio della diversificazione degli investimenti
e, quindi, risulta essere poco utile nella pratica. Perci`o la nozione “classica”
di misura convessa di rischio prevede come dominio L1(P). Dal punto di vista
matematico tale soluzione `e soddisfacente, essendo uno spazio invariante rispetto
al passaggio a probabilit`a equivalenti, ma dal punto di vista della modellizzazione
non `e possibile rappresentare l’eventualit`a di un tracollo finanziario.
Un altro limite di tale definizione consiste nel fatto che le societ`a finanziarie
sono interessate a cautelarsi dal rischio non solo nell’arco di un giorno, ma in un
intervallo di tempo che pu`o essere rappresentato da T giorni, con la possibilit`a
di intervenire eventualmente sul mercato per modificare la propria posizione, al
variare delle informazioni disponibili.
Questo spinge alla ricerca di insiemi di definizione diversi per le misure di
rischio, nonch´e a modellizzazioni che tengano conto del trascorrere dei giorni e
del fluire delle informazioni.
In questa tesi si presenta la teoria “classica” delle misure di rischio e una
sua estensione temporale, nonch´e un’estensione anche dal punto di vista spaziale,
per la quale `e necessario studiare alcune propriet`a degli L0-moduli localmente
convessi e delle applicazioni inferiormente semicontinue che prendono valori su
di essi.
Il primo capitolo `e dedicato al caso monoperiodale: si presentano alcune problematiche
relative all’utilizzo del VaR; si definiscono le misure convesse e coerenti
di rischio sullo spazio L1(P), mettendo in luce i risultati principali relativi
all’insieme di accettazione, alla propriet`a di Fatou, al teorema di caratterizzazione
mediante una funzione di penalizzazione, e alla rilevanza; infine si presentano le
difficolt`a relative all’estensione della definizione della misura di rischio allo spazio
L0(P).
Nel secondo capitolo si introducono gli strumenti di analisi funzionale necessari
per la duplice estensione: si mostra una versione del teorema di Hahn-Banach
valida su L0-moduli, si definiscono gli L0-moduli localmente convessi e si presenta
una loro caratterizzazione, nonch´e dei teoremi di separazione validi su di
essi; si caratterizzano le applicazioni L0-convesse e semicontinue inferiormente
su L0-moduli localmente convessi e si forniscono condizioni sufficienti per la
continuit`a; infine si enunciano due teoremi fondamentali per l’estensione spaziale
delle misure convesse di rischio.
Nel terzo capitolo si presentano i modelli multiperiodali: si considerano i modelli
a 2 periodi (T = 2) e posizioni limitate, definendo misure convesse di rischio
condizionali e studiandone le propriet`a; si introduce il concetto di rilevanza per
misure condizionali e la consistenza nel tempo; si enunciano i risultati principali
riguardanti il caso T-periodico (T finito) con posizioni limitate, mostrando l’esempio
della misura entropica condizionale di rischio. L’ultima parte
del terzo capitolo `e dedicata all’estensione spaziale della definizione di misura di
rischio condizionale: si definisce e si studia l’L0-modulo Lp^t (FT ), si estende la definizione
di una misura convessa di rischio condizionale a Lp^t (FT ) e si presenta un
risultato di caratterizzazione mediante una funzione di penalizzazione, che sfrutta
i risultati esposti durante il secondo capitolo.