• cromodinamica su reticolo
• simmetria chirale
• transizioni di fase

Nonostante le teorie di gauge non abeliane siano state introdotte nel 1954 da Yang e Mills per

il gruppo \(SU(2)\) (\cite{YangMills}) ed ampliate al caso di un generico gruppo di Lie

semisemplice da Gell-Mann e Glashow nel 1961 (\cite{Gell-MannGlashow}), normalmente si considera

come ``data di nascita'' della cromodinamica quantistica l'anno 1973, che vide la pubblicazione

dei due fondamentali articoli di Gross, Wilczek e Politzer (\cite{GrossWilczek}

e \cite{Politzer}) in cui si annunciava la scoperta della libert\`a asintotica. Grazie a questa

scoperta risult\`o chiaro che, per quanto grande sia la costante di accoppiamento forte ad una

data energia, aumentando la scala di energia considerata la si pu\`o rendere sufficientemente

piccola da giustificare lo sviluppo perturbativo della teoria.

Questa scoperta \`e abbastanza importante da poter essere considerata la nascita della

cromodinamica quantistica (QCD) poich\`e tutti i calcoli espliciti in teoria quantistica

dei campi sono possibili solo a livello perturbativo; la scoperta della libert\`a asintotica

costituisce quindi la base della cromodinamica quantistica \emph{perturbativa}.



Nonostante il successo dell'approccio perturbativo alla cromodinamica quantistica nello spiegare

effetti di alta energia, i fenomeni pi\`u caratteristici in cui interviene

l'interazione forte non risultano spiegabili a livello perturbativo; tra questi si possono

ricordare ad esempio il problema del confinamento e quello della rottura spontanea della

simmetria chirale a bassa energia.



Un importante passo verso la costruzione di una teoria non perturbativa \`e stata

l'introduzione da parte di Wilson, nel 1974, della formulazione su reticolo delle teorie di

gauge (\cite{Wilson74}). Questa costruzione ha il grande merito di introdurre una

regolarizzazione non perturbativa (il reticolo appunto) pur conservando esatta la simmetria di

gauge. Inoltre in questa formulazione della teoria lo sviluppo perturbativo pi\`u naturale non

\`e quello per piccole costanti di accoppiamento, bens\`i quello per grandi costanti di

accoppiamento, tanto che Wilson fu in grado di dimostrare che nel limite di accoppiamento forte

tutte le teorie di gauge confinano.



Lo stesso Wilson (\cite{Wilson71a},\cite{Wilson71b}) ebbe anche il merito di completare la

teoria dei fenomeni critici introdotta da Kadanoff (\cite{Kadanoff66}), riconoscendo inoltre in

essa una struttura formale identica a quella che compariva nella teoria del gruppo di

rinormalizzazione, introdotta nella fisica delle alte energie da Gell-Mann e Low nel 1954

(\cite{Gell-MannLow}). Questa identit\`a di struttura permise di applicare alla fisica dei

fenomeni critici tutti i metodi che erano stati sviluppati negli anni precedenti per le teorie

di campo quantistiche; da una tale unione nacque in particolare un metodo sistematico per il

calcolo perturbativo degli esponenti critici oltre la teoria di campo medio.



A causa della sostanziale identit\`a di formalismo tra le teorie di gauge su reticolo ed i

modelli classici di fisica statistica (modello di Ising, di Potts, di Heisenberg \(\ldots\))

la formulazione di Wilson diede inizio a studi sulla termodinamica delle

teorie di gauge; in particolare furono pubblicati i primi studi in cui, partendo da principi

primi, si analizzava la possibilit\`a che a temperatura sufficientemente alta le

teorie di gauge non confinino (\cite{'tHooft},\cite{Susskind},\cite{Polyakov}),

ipotesi questa introdotta in precedenza tramite l'analisi di modelli fenomenologici

(\cite{CabibboParisi}). Si pose quindi il problema di capire se il passaggio dalla fase confinata

di una teoria di gauge, la cui esistenza non \`e in effetti ancora stata dimostrata a partire da

principi primi, alla fase non confinata sia effettivamente una transizione di fase (cio\`e un

punto singolare dell'energia libera) oppure se questo possa avvenire senza incontrare

singolarit\`a, come per il passaggio da liquido a vapore, aggirando il punto critico.



In alcuni casi particolari, come il caso di una teoria di gauge pura, il problema dell'esistenza

della transizione di fase (sempre supponendo l'esistenza della fase confinata) fu risolto

utilizzando solo le simmetrie della teoria ed argomenti di universalit\`a

(\cite{YaffeSvetitsky}); in altri casi, come quello in cui siano presenti solo quark a massa

nulla, alcuni risultati furono ottenuti utilizzando modelli effettivi introdotti a livello

fenomenologico ed argomenti di universalit\`a (\cite{PisarskiWilczek}). Tra i casi che non

possono essere risolti utilizzando i metodi precedenti rientra in particolare il caso di

interesse fisico di quark con massa non nulla.



Per analizzare i casi non risolubili esclusivamente con metodi teorici (o comunque per ottenere

informazioni su osservabili non universali) si ricorse ad una altra tecnica mutuata dalla

fisica statistica: quella delle simulazioni Monte Carlo (\cite{Creutz80}). Anche questa tecnica

presenta tuttavia i suoi problemi: a causa della grande complessit\`a computazionale dei

problemi considerati, le simulazioni possono essere effettuate solo su sistemi limitati

(dell'ordine di \(10^4\) punti reticolari). Per ovviare in parte a questo problema si usano

metodi tramite i quali \`e possibile estrapolare dal comportamento di un sistema limitato il

comportamento dello stesso sistema al limite termodinamico (finite size scaling).



Nonostante il progresso compiuto negli ultimi 20 anni sia a livello teorico che a livello di

potenza di calcolo, molti sono tuttavia ancora gli aspetti non completamente chiariti del

diagramma di fase della cromodinamica (\cite{Philipsen},\cite{Heller}). Scopo del presente

elaborato \`e analizzare come cambia la transizione che avviene in cromodinamica quantistica

con tre quark leggeri all'aumentare delle masse dei quark: \`e opinione comune che la

transizione del primo ordine presente per quark leggeri, diventi, all'aumentare delle masse dei

quark, una transizione del secondo ordine (della classe di universalit\`a del modello di Ising

tridimensionale) dopo la quale non \`e pi\`u presente alcuna singolarit\`a. Questo

comportamento, previsto sulla base di modelli fenomenologici della QCD a temperatura nulla e

considerazioni di universalit\`a, \`e stato verificato in simulazioni su reticolo solo

utilizzando il cosiddetto metodo dei cumulanti di Binder; data l'importanza di verificare questo

comportamento, vista anche la possibilit\`a che ha il caso \(N_f=3\) di influenzare le

conclusioni sul caso fisicamente pi\`u rilevante \(N_f=2+1\), appare opportuno verificare il

suddetto comportamento anche utilizzando tecniche diverse di analisi. Per fare ci\`o, in

questo lavoro di tesi \`e stata in parte ripetuta la analisi effettuata in

\cite{deForcrandPhilipsen}, studiando per\`o solo valori delle masse dei quark vicini al valore

critico ivi riportato (\(m_c=0.0263\pm 0.0003\)) e ricercando indicazioni di uno scaling delle

osservabili compatibile con una transizione della classe di universalit\`a del modello di Ising

tridimensionale.