• flusso geodetico
• flusso orociclo
• piano iperbolico
• sistemi dinamici
• superfici iperboliche

In questa tesi di laurea Magistrale ci occupiamo del flusso di orociclo e del flusso geodetico sul piano iperbolico e sui suoi quozienti, cercando di fornire una referenza quanto più possibile completa e esaustiva. Indicate con $(z,v)$ le coordinate standard sul piano iperbolico $\HH$, il flusso di orociclo può essere visto come il flusso di Eulero-Lagrange al livello di energia $E=1/2$ della Lagrangiana

$$L(z,v)=1/2 ||v||_z^2 + \eta_z(v)$$

dove $\eta$ è una opportuna 1-forma su $\HH$. Il livello di energia 1/2 è il livello critico di Mané per la Lagrangiana L; quindi abbiamo un cambiamento drastico nella dinamica oltrepassando questo valore. Nella sezione 5.2 dimostriamo infatti che per livelli di energia minori di 1/2 le soluzioni dell'equazione di Eulero-Lagrange associata a L sono chiuse; nella sezione 5.3 invece dimostriamo che il flusso di Eulero-Lagrange per un livello di energia sopracritico k è, a meno di riparametrizzazione, il flusso geodetico definito da una opportuna metrica Finsler. Inoltre, per livelli di energia alti, tale metrica tende a quella iperbolica. A livello critico il flusso di Eulero-Lagrange di L è appunto il flusso di orociclo e l'equazione di Hamilton-Jacobi associata è data da

$$y |\nabla u|^2 - 2\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

Nella sezione 5.4 ci occupiamo di determinare le soluzioni di tale PDE utilizzando un approccio geometrico, il quale consiste nel determinare i grafici lagrangiani invarianti contenuti nel livello di energia 1/2 e vedere quali di essi sono esatti, cioè definiti da una 1-forma esatta. Se infatti $G_{df}$ è un grafico lagrangiano esatto allora $f$ è soluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi; utilizzando questo metodo dimostriamo che tutte le soluzioni della PDE sopra sono costanti oppure della forma

$$u_a(x,y)=2 \arctan [(x-a)/y ], a\in \R.$$

In particolare otteniamo la seguente proprietà: se $\omega$ è una 1-forma su $\HH$ tale che il suo grafico è invariante e contenuto nel livello H=1/2 allora $\omega$ è esatta. In questo caso particolare vale dunque il viceversa del generale teorema 3.1 (Hamilton-Jacobi), il quale afferma che se $G$ è una sottovarietà Lagrangiana (in particolare quindi un grafico) tale che $H$ è costante su $G$ allora $G$ è invariante (si ricordi che essendo $\HH$ semplicemente connesso, ogni 1-forma chiusa è anche esatta). Nella sezione 5.5, utilizzando un metodo completamente analogo a quello utilizzato in 5.4, determiniamo alcune (a priori non tutte) soluzioni dell'equazione di Hamilton-Jacobi

$$|\nabla u|^2 = 1/(y^2)$$

relativa al flusso geodetico sul piano iperbolico.


I primi capitoli sono dedicati a richiamare la teoria generale; per prima cosa ricordiamo le definizioni di Lagrangiana e Hamiltoniana e introduciamo i rispettivi formalismi e alcuni esempi significativi. Nel secondo capitolo passiamo a sviluppare la teoria dei valori critici di Mané per una Lagrangiana $L:TM\longrightarrow \R$, dove M è una varietà riemanniana connessa e senza bordo e TM è il suo fibrato tangente, e delle loro connessioni con le misure minimizzanti. Nel capitolo 3 invece ci occupiamo del punto di vista Hamiltoniano, introducendo l'equazione di Hamilton-Jacobi, i concetti di soluzione e sottosoluzione, di grafico lagrangiano (esatto); tralasciando alcuni dettagli tecnici forniamo una dimostrazione del seguente importante

Teorema
Sia M un qualsiasi rivestimento di una varietà chiusa e sia c(L) il valore critico di Mané relativo alla Lagrangiana $L:TM\longrightarrow \R$. Allora vale

$$c(L) = inf {k\in \R | esiste u\in C^\infty(M,\R) tale che H(x,du(x))<k}.


Nel capitolo 4 introduciamo il piano iperbolico e ne riassumiamo le principali proprietà; definiamo quindi il flusso geodetico e il flusso di orociclo sul piano iperbolico e sui suoi quozienti (ovvero sulle superfici iperboliche); infine nella sezione 4.4 ripercorriamo brevemente la dimostrazione del classico


Teorema[Hedlund, 1936]
Se M è una superficie iperbolica compatta allora ogni orbita del flusso di orociclo è densa in $T_1M$.